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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:47 Do 23.08.2012 | | Autor: | Peon |
Hallo,
habe mal wieder eine Verständnisfrage. Diesmal zur gemeinsamen Verteilung und Randverteilung.
Also vorweg, wir haben Zufallsvariablen def. als eine Abb.: [mm] X:(\Omega,\mathcal{A},P)\to(\mathcal{X},\mathcal{B},P_X).
[/mm]
Nimmt man als Beispiel das 2-malige Würfel mit einem normalen Würfel (d.h. 6 Seiten):
Sei dazu [mm] X_i:(\Omega_i,\mathcal{A}_i,P)\to(\mathcal{X}_i,\mathcal{B}_iP_X) [/mm] die i-te ZV beim i-ten Wurf (hier i=1,2). hier könnte man also [mm] \mathcal{X}=\Omega [/mm] und [mm] \mathcal{B}=\mathcal{A} [/mm] setzen. Kann man dazu folgende Verteilungen aufstellen:
da es sich um ein diskret-verteiltes Experiment handelt (bzw. die ZV diskret verteil sind) ergibt sich:
die gemeinsame Verteilung: [mm] P(X\inB)=P(X_1 \in B_1,X_2 \in B_2), B_i\in\mathcal{B}_i, [/mm] d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass [mm] X_i [/mm] ind [mm] B_i [/mm] liegt bzw. [mm] X_i(\omega)=\omega_i [/mm] also das Ergebnis im i-ten Wurf. [mm] B_i [/mm] ist hier doch der Ergebnisraum für den i-ten Wurf. Wird der streng genommen nochmal unterteilt, wenn man zum beispiel für den 1. Wurf die [mm] B_{1_{j}} [/mm] aufstellt, wobei die [mm] B_{1_{j}}=\{w_i=\{j\}\} [/mm] für j=1,2,...,6 sind, also die Ergebnisräume für den 1. Wurf = 1,2,...,6 oder macht man die Unterteilung garnicht?
Ok weiter zur gemeinsamen Dichte:
Die ergbit sich doch aus [mm] p(x_1,x_2)=P(X_1,X_2). [/mm] Also zum Beispiel die Wkt., dass im ersten Wurf eine 3 und im zweiten eine 6 fällt ist dann: [mm] P(X_1=3,X_2=6)=P(X_1=3*P(X_2=6)=\bruch{1}{36} [/mm] (da die ZV unabhängig sind).
Im Skript haben wir als i-te Randverteilung (hier wieder i=1,2):
[mm] P_{X_{1}}=P((X_1,X_2)\in B_1 [/mm] x [mm] \mathcal{X}_2), [/mm] heißt das, dass man hier die Verteilung für den 1. Wurf betrachten und der zweite Wurf "irgendein" Ergebnis liefern kann also theoretisch die Wkt. 1 hat und man somit die Verteilung für nur einen Wurf erhält?
Bspw.: [mm] P(X_1=x_1)=\bruch{1}{6} [/mm]
So und jetzt kommt die Randverteilung der i-ten Dichte und da wird es bei mir ein bisschen dünn:
[mm] p_i(x_i)=P(X_i=x_i) [/mm] ist das nicht wieder die Verteilung? Mir wurde hier im MR schonmal erläutert, dass man im diskreten Fall i.d.R. keine Unterscheidung zwischen Dichte und Verteilung macht, da es sich bei der Dichte im diskreten Fall um eine "Einpunkt-Verteilung" handelt. Allerdings haben wir im Skript geschrieben, dass bei der Dichte:
[mm] p_i(x_i)=P(X_i=x_i)=\summe_{x_{v} (v\not=i), x_i fest}p(x_1,...,x_i,...,x_n), [/mm] dann wäre das für i=1 doch die Wkt [mm] p(x_2)? [/mm] Und das verstehe ich nicht so ganz. Im Buch habe ich dazu so Tabellen gesehen, die am "Rand" die "Randverteilungen" angeben. Vielleicht kann mir das einer näher erklären? Also erstmal ob ich das richtig zusammengefasst habe und dann vielleicht auch, wie man so eine Dichte der i-ten RV konkret berechnet (Ok, in meinem Bsp. ist es witzlos, da beide [mm] X_i [/mm] gleichverteilt sind, aber man könnte ja einen 6 seitigen und 12 seiteigen Würfel betrachten)
Danke
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | Ich habe ein konkretes Beispiel gefunden.
Es geht um ein Experiment mit k möglcihen ergebnissen 1,...,k und den dazgehörigen Wkt. [mm] p_1,...,p_k, [/mm] wobei die Summe der Wkt. =1. Dieses Experiment wird n-fach unabhängig durchgeführt . Die [mm] X_i [/mm] bezeichnen die Anzahl der Experimente mit em Ergebnis i, i=1,...,k.
Die gemeinsame Verteilung der [mm] X_i [/mm] ist die Multinominalverteilung mit Parametern n und [mm] p_1,...,p_k, [/mm] wobei [mm] n_i [/mm] die Anzahlen der Experimente mit Ergebnis i darstellt und [mm] n_1+...+n_k=n: [/mm]
[mm] P(X_1=n_1,...,X_k=n_k)=\bruch{n!}{n_1!*...*n_k!}p_1^{n_1}*...*p_k^{n_k}
[/mm]
Nun kann man die i-te Randverteilung bestimmen, z.B.
[mm] P_X_1(n_1)=P(X_1=n_1)=\summe_{n_2,...,n_k}p(n_1,...,n_k)=\vektor{n \\ n_1}*p_1^{n_1}*\summe_{n_2,...,n_k}*\vektor{n-n_1 \\ n_2,...,n_k}*p_2^{n_2}*...*p_k^{n_k}
[/mm]
[mm] =\vektor{n \\ n_1}*p_1^{n_1}*(p_2+...+p_k)^{n-n_1}=\vektor{n \\ n_1}*p_1^{n_1}(1-p_1)^{n-n_1} [/mm] |
Meine Frage ist nun:
Was passiert in Schritt zwei und drei? Ich verstehe irgendiwe nicht genau, wie man die i-te Randverteilung berechnet. Nach Def wird bei der i-ten Randverteilung über alles [mm] x_j \not=x_i [/mm] summinert, das verstehe ich nicht?
Kann mir einer vielleicht noch die Zwischenschritte genauer erklären, danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 Mo 27.08.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
> Ich habe ein konkretes Beispiel gefunden.
> Es geht um ein Experiment mit k möglcihen ergebnissen
> 1,...,k und den dazgehörigen Wkt. [mm]p_1,...,p_k,[/mm] wobei die
> Summe der Wkt. =1. Dieses Experiment wird n-fach
> unabhängig durchgeführt . Die [mm]X_i[/mm] bezeichnen die Anzahl
> der Experimente mit em Ergebnis i, i=1,...,k.
>
> Die gemeinsame Verteilung der [mm]X_i[/mm] ist die
> Multinominalverteilung mit Parametern n und [mm]p_1,...,p_k,[/mm]
> wobei [mm]n_i[/mm] die Anzahlen der Experimente mit Ergebnis i
> darstellt und [mm]n_1+...+n_k=n:[/mm]
>
> [mm]P(X_1=n_1,...,X_k=n_k)=\bruch{n!}{n_1!*...*n_k!}p_1^{n_1}*...*p_k^{n_k}[/mm]
>
> Nun kann man die i-te Randverteilung bestimmen, z.B.
>
> [mm]P_X_1(n_1)=P(X_1=n_1)=\summe_{n_2,...,n_k}p(n_1,...,n_k)=\vektor{n \\ n_1}*p_1^{n_1}*\summe_{n_2,...,n_k}*\vektor{n-n_1 \\ n_2,...,n_k}*p_2^{n_2}*...*p_k^{n_k}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{n \\ n_1}*p_1^{n_1}*(p_2+...+p_k)^{n-n_1}=\vektor{n \\ n_1}*p_1^{n_1}(1-p_1)^{n-n_1}[/mm]
>
> Meine Frage ist nun:
> Was passiert in Schritt zwei und drei? Ich verstehe
> irgendiwe nicht genau, wie man die i-te Randverteilung
> berechnet. Nach Def wird bei der i-ten Randverteilung über
> alles [mm]x_j \not=x_i[/mm] summinert, das verstehe ich nicht?
Hier muss es heissen [mm]n_j \not=n_i[/mm], das sind hier die Indices
[mm] $n_2,...,n_k$. [/mm] Der Rest folgt nach dem ![[]](/images/popup.gif) Multinomialtheorem.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 27.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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