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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Mi 26.10.2011 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Seien K ein algebraisch abgeschlossener Körper und [mm] M_{1},...M_{n} [/mm] paarweise kommutierende $ [mm] m\times [/mm] m - Matrizen $ über K.
Setze [mm] I:=\{f\in K[x_{1},...,x_{n}]| f(M_{1},...,M_{n})=0 \}
[/mm]
Nach dem Nullstellensatz existieren [mm] \lambda_{1},..., \lambda_{n}\in [/mm] K mit [mm] f(\lambda_{1},..., \lambda_{n})=0 \forall f\in [/mm] I
Behauptung: Es gibt einen gemeinsamen Eigenvekor v ungleich 0 der [mm] M_{i}, [/mm] sodass [mm] \lambda_{i}*v=M_{i}*v [/mm] |
Hallo!
Die angegebene Behauptung ist zu beweisen oder zu widerlegen...wäre sie nicht wahr, so ließe sich sicherlich irgendwie ein Gegenbeispiel finden, für den einfachsten Fall, also m=1 stimmt die Behauptung jedenfalls. Aber mir ist irgendwie noch nicht einmal klar, warum [mm] \lambda_{i} [/mm] überhaupt ein Eigenwert von [mm] M_{i} [/mm] ist...Mmmh
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Mi 26.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Seien K ein algebraisch abgeschlossener Körper und
> [mm]M_{1},...M_{n}[/mm] paarweise kommutierende [mm]m\times m - Matrizen[/mm]
> über K.
> Setze [mm]I:=\{f\in K[x_{1},...,x_{n}]| f(M_{1},...,M_{n})=0 \}[/mm]
>
> Nach dem Nullstellensatz existieren [mm]\lambda_{1},..., \lambda_{n}\in[/mm]
> K mit [mm]f(\lambda_{1},..., \lambda_{n})=0 \forall f\in[/mm] I
> Behauptung: Es gibt einen gemeinsamen Eigenvekor v
> ungleich 0 der [mm]M_{i},[/mm] sodass [mm]\lambda_{i}*v=M_{i}*v[/mm]
> Hallo!
> Die angegebene Behauptung ist zu beweisen oder zu
> widerlegen...wäre sie nicht wahr, so ließe sich
> sicherlich irgendwie ein Gegenbeispiel finden, für den
> einfachsten Fall, also m=1 stimmt die Behauptung
> jedenfalls. Aber mir ist irgendwie noch nicht einmal klar,
> warum [mm]\lambda_{i}[/mm] überhaupt ein Eigenwert von [mm]M_{i}[/mm]
> ist...Mmmh
zu letzterem ein Tipp: das charakteristische Polynom von [mm] $M_i$ [/mm] ist (aufgefasst als Polynom in der Unbestimmten [mm] $x_i$) [/mm] ein Element von $I$.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:20 Mo 31.10.2011 | | Autor: | valoo |
Mmh und wie beweise ich das nun?
Meine Idee wäre eine Induktion, wenn das denn klappt und das stimmt wie ich das annehme...
Sei [mm] I(n):=\{f\in K[X_{1},...,X_{n}]|f(M_{1},...,M_{n})=0\}
[/mm]
Dann ist [mm] I(n)\subset [/mm] I(n+1)
Nach dem NS gibt es [mm] \lambda_{i} [/mm] mit [mm] f(\lambda_{1},...,\lambda_{n+1})=0 [/mm] für alle [mm] f\in [/mm] I(n+1)
also insbesondere [mm] f(\lambda_{1},...,\lambda_{n})=0 [/mm] für alle [mm] f\in [/mm] I(n)
Nach IV gibt es einen EV v mit [mm] M_{i}*v=\lambda_{i}*v [/mm] für alle [mm] i\not=n+1
[/mm]
Kann man jetzt irgendwie [mm] M_{n+1} [/mm] in Abhängigkeit der anderen Matrizen darstellen und so argumentieren, dass v auch EV von [mm] M_{n+1} [/mm] ist? Oder muss es das garnicht sein und es kann einen völlig anderen gemeinsamen EV geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Mo 31.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Mmh und wie beweise ich das nun?
> Meine Idee wäre eine Induktion, wenn das denn klappt und
> das stimmt wie ich das annehme...
>
> Sei [mm]I(n):=\{f\in K[X_{1},...,X_{n}]|f(M_{1},...,M_{n})=0\}[/mm]
>
> Dann ist [mm]I(n)\subset[/mm] I(n+1)
> Nach dem NS gibt es [mm]\lambda_{i}[/mm] mit
> [mm]f(\lambda_{1},...,\lambda_{n+1})=0[/mm] für alle [mm]f\in[/mm] I(n+1)
> also insbesondere [mm]f(\lambda_{1},...,\lambda_{n})=0[/mm] für
> alle [mm]f\in[/mm] I(n)
> Nach IV gibt es einen EV v mit [mm]M_{i}*v=\lambda_{i}*v[/mm] für
> alle [mm]i\not=n+1[/mm]
Insbesondere ist dann $W := [mm] \bigcap_{i=1}^n Eig(M_i, \lambda_i) \neq \{ 0 \}$. [/mm] Ich vermute, das man hiermit arbeiten muss...
> Kann man jetzt irgendwie [mm]M_{n+1}[/mm] in Abhängigkeit der
> anderen Matrizen darstellen und so argumentieren, dass v
> auch EV von [mm]M_{n+1}[/mm] ist? Oder muss es das garnicht sein und
> es kann einen völlig anderen gemeinsamen EV geben?
Es kann sein, dass $v$ kein EV von [mm] $M_{n+1}$ [/mm] ist. Allerdings muss es irgendein $v [mm] \in [/mm] W [mm] \setminus \{ 0 \}$ [/mm] geben mit [mm] $M_{n+1} [/mm] v = [mm] \lambda_{n+1} [/mm] v$. Oder anders gesagt: $W [mm] \cap Eig(M_{n+1}, \lambda_{n+1}) \neq \{ 0 \}$.
[/mm]
Wie man das jetzt aber hinbekommt weiss ich gerade auch nicht... Vielleicht kann man mit der Annahme $W [mm] \cap Eig(M_{n+1}, \lambda_{n+1})$ [/mm] ein Polynom in $I$ konstruieren, welches nicht [mm] $(\lambda_1, \dots, \lambda_{n+1})$ [/mm] als gemeinsame Nullstelle hat?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Do 03.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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