"gemischte" Momente < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:24 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | Seien [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] iid N(0,1)-verteilte Zufallsvariablen mit [mm] X:=\vektor{X_1 \\ X_2 }, Y:=\vektor{Y_1 \\ Y_2}:= [/mm] BX+a, [mm] \Sigma:=\pmat{ \sigma_1^2 & \sigma_{12} \\ \sigma_{21} & \sigma_2^2 }:= BB^T, [/mm] mit [mm] a=\vektor{a_1 \\ a_2} \in \IR^2 [/mm] und einer regulären 2x2-Matrix B.
a) Berechnen Sie mit Hilfe der momenterzeugenden Fkt. [mm] M_Y [/mm] den Korrelationskoeffizienten von [mm] Y_1 [/mm] und [mm] Y_2
[/mm]
Hinweis: Verwenden Sie, dass aus der Regularität von B auch [mm] \sigma_i^2>0 [/mm] (i=1,2) folgt.
b) Zeigen Sie, dass [mm] Y_1 [/mm] und [mm] Y_2 [/mm] genau dann unabhängig sind, wen [mm] Cov(Y_1,Y_2)=0 [/mm] gilt.
Hinweis: Für den Nachweis der Unabhängigkeit von [mm] Y_1 [/mm] und [mm] Y_2 [/mm] genügt es zu zeigen, dass sich die gemeinsame Dichte [mm] f_Y [/mm] = [mm] f_Y(y_1,y_2) [/mm] für jeden Punkt [mm] \in \IR^2 [/mm] als Produkt der Randdichten [mm] f_{Y_1}=f_{Y_1}(y_1 [/mm] und [mm] f_{Y_2}(y_2) [/mm] darstellen lässt.
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Hallo,
also ich habe mir gedacht, dass ich erstmal die Dichte von [mm] Y_1 [/mm] und [mm] Y_2 [/mm] bestimme, das dann integriere und dann die Momenterzeugende Fkt. berechne, aber da rechnet man sich nen Wolf und das muss bestimmt auch einfacher gehen, oder?
Als Dichte habe ich raus:
[mm] g(y_1,y_2)=\bruch{1}{2\pi^{\bruch{n}{2}}*det\Sigma^{\bruch{1}{2}}}*e^{\bruch{-1}{2}*\bruch{(y_1-a)^2\sigma_2^2-2*(y_1-a)(y_2-a)+(y_2-a)^2*\sigma_1^2}{det\Sigma}}
[/mm]
Naja das zu integrieren und weiter rechnen ist schon ecklig, daher wollte ich fragen, ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin?
Meine zweite Frage:
Im Skript habe ich folgendes gefunden:
X sei [mm] N(a,\Sigma)-verteilt [/mm] mit a [mm] \in \IR^k, \Sigma=BB^T [/mm] positiv definit, B [mm] \in \IR^{kxk} [/mm] => [mm] M_X(t)=e^{t^T*a+\bruch{1}{2}*t^T\Sigma*t}. [/mm] Kann ich das für meine Aufgabe verwenden, indem ich [mm] Y=(Y_1,Y_2) [/mm] statt X nehme?
Danke und Gruß
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:17 So 06.12.2009 | | Autor: | Peon |
zu b) Da habe ich die Hinrichtung gezeigt:
[mm] Y_1,Y_2 [/mm] unabhängig
[mm] =>E(Y_1,Y_2)=E(Y_1)E(Y_2)
[/mm]
[mm] =>0=E(Y_1,Y_2)-E(Y_1)E(Y_2)=Cov(Y_1,Y_2)
[/mm]
Aber bei der RÜckrichtung haperts.
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 08.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Meine zweite Frage:
> Im Skript habe ich folgendes gefunden:
> X sei [mm]N(a,\Sigma)-verteilt[/mm] mit a [mm]\in \IR^k, \Sigma=BB^T[/mm]
> positiv definit, B [mm]\in \IR^{kxk}[/mm] =>
> [mm]M_X(t)=e^{t^T*a+\bruch{1}{2}*t^T\Sigma*t}.[/mm] Kann ich das
> für meine Aufgabe verwenden, indem ich [mm]Y=(Y_1,Y_2)[/mm] statt X
> nehme?
>
Ja, denn Deine gemeinsame Dichte von [mm]Y=(Y_1,Y_2)[/mm] ist, wenn ich das jetzt richtig sehe, [mm]N(a,\Sigma)-verteilt[/mm]
Gruss
FrankNStein
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 15:59 So 06.12.2009 | | Autor: | Peon |
OK, das habe ich mir nämlich auch gedacht, dass Y so verteilt ist. Ich weiß jetzt nur nicht so genau, was ich für [mm] t^T [/mm] einsetze, bzw. wie ich das Y da reinbringe? Hast du nen Ansatz?
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> OK, das habe ich mir nämlich auch gedacht, dass Y so
> verteilt ist. Ich weiß jetzt nur nicht so genau, was ich
> für [mm]t^T[/mm] einsetze, bzw. wie ich das Y da reinbringe? Hast
> du nen Ansatz?
Hallo,
$ [mm] {t^T\cdot{}a+\bruch{1}{2}\cdot{}t^T\Sigma\cdot{}t}. [/mm] $
[mm] $=(t_1,t_2)^T\cdot (a_1,a_2)^T +\frac{1}{2}\cdot (t_1,t_2)^T\cdot\Sigma\cdot (t_1,t_2) [/mm] = ...$
$= [mm] t_1 a_1+t_2 a_2 +\frac{1}{2}[\sigma_1^2 t_1^2 +\sigma_2^2 t_2^2+t_1 t_2 (\sigma_{12} \sigma_{21})]$
[/mm]
Jetzt kannst Du Eigenschaften 5.3.d) (S.58) anwenden.
Damit folgt, dass
[mm] $E(Y_1)=a_1$, $E(Y_2)=a_2$
[/mm]
[mm] $E(Y_1^2)=\sigma_1^2+a_1^2$
[/mm]
[mm] $E(Y_2^2)=\sigma_2^2+a_2^2$
[/mm]
und somit mit dem Verschiebungssatz
[mm] $Var(Y_1)=\sigma_1^2$
[/mm]
[mm] $Var(Y_2)=\sigma_2^2$
[/mm]
Jetzt noch Cov ausrechnen und das ganze in die Formel für den Korrelationskoeffizienten einsetzen.
Gruss
FrankNStein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 So 06.12.2009 | | Autor: | Peon |
danke
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 So 06.12.2009 | | Autor: | Peon |
Hey ich habe alles soweit nachgerechnet:
Habe ne Frage bzgl. der [mm] Cov(Y_1,Y_2):
[/mm]
[mm] Cov(Y_1,Y_2)=E(Y_1-E(Y_1))E(Y_2-E(Y_2))=E(Y_1-a_1)E(Y_2-a_2) [/mm] aber kommt da dann nicht 0 raus? Also wäre [mm] Cov(Y_1,Y_2)=0 [/mm] und somit [mm] Y_1,Y_2 [/mm] nach der b) unabhängig?
Danke
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> Hey ich habe alles soweit nachgerechnet:
> Habe ne Frage bzgl. der [mm]Cov(Y_1,Y_2):[/mm]
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> [mm]Cov(Y_1,Y_2)=E(Y_1-E(Y_1))E(Y_2-E(Y_2))=E(Y_1-a_1)E(Y_2-a_2)[/mm]
> aber kommt da dann nicht 0 raus? Also wäre [mm]Cov(Y_1,Y_2)=0[/mm]
> und somit [mm]Y_1,Y_2[/mm] nach der b) unabhängig?
>
> Danke
Hallo,
Du musst für die Kovarianz die Formel von S. 47, Bem. 4.7 c), Punkt 4) benutzen, also
[mm] $Cov(Y_1,Y_2)=E(Y_1\cdot Y_2)-E(Y_1)\cdot E(Y_2)$.
[/mm]
Dies gilt nach dem Verschiebungssatz, brauchst Du aber nicht zu zeigen, nur die Formel benutzen. Diese Formel gilt falls die zweiten Momente existieren, und die hast Du ja sicherlich berechnet, als Du die Varianz berechnet hast.
Es kommt raus [mm] $Cov(Y_1,Y_2)=\frac{1}{2}(\sigma_{12}+\sigma_{21})$. [/mm]
Ich bin mir jetzt nicht sicher ob [mm] $\Sigma$ [/mm] symmetrisch ist, aber wenn [mm] $\Sigma$ [/mm] symmetrisch wäre, dann wäre [mm] $\sigma_{12}=\sigma_{21}$ [/mm] und damit [mm] $Cov(Y_1,Y_2)=\sigma_{12}$.
[/mm]
Gruss
FrankNStein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 So 06.12.2009 | | Autor: | Peon |
Alles klar, habe grad die Formel gefunden, hatte die auch schonmal gesehn, aber wieder vergessen ;) Danke
[mm] \Sigma [/mm] ist symmetrisch, da bin ihc mir ziemlich sicher.
Danke N8
EDIT: Kann es sein, dass du bei der erzeugenden Fkt. im Exponenten ganz zum Schluss stehen haben müsstest [mm] (\sigma_{12}+\sigma_{21}) [/mm] und nicht "*"
Gruß
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> EDIT: Kann es sein, dass du bei der erzeugenden Fkt. im
> Exponenten ganz zum Schluss stehen haben müsstest
> [mm](\sigma_{12}+\sigma_{21})[/mm] und nicht "*"
> Gruß
Hallo,
ja, das war ein Tippfehler, da steht natürlich "+" und nicht "*".
Gruss
FrankNStein
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