gemischte aufgabe Vektoren < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 So 18.04.2010 | | Autor: | m4rio |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte A(0/0/0), B(15/21/3),C(37/5/5) & D(22/-16/2).
a)zeigen sie, dass die punkte A,B,C & D in einer Ebene liegen. Untersuchen sie, ob A.B,C,D die Ecken einer Raute ( eines Rechecks, eines Quaders) bilden.
b)Stellen die iene Koordinatengleichung der Ebene durch die Punkte A,B,C,D auf.
c) DAs Viereck ABCD ist die Grundfläche einer Pyramide, deren Höhe durch den Diagonalen schnittpunkt des Vierecks geht. Stellen sie eine Geradengleichung der Höhe auf.
d)Die Spitze S der Pyramide liegt in der X1 X3 Ebene. Bestimmen Sie die KOordinaten von S. |
Moin,
wunderschöne Aufgabe, welche ich gerne lösen würde.
a) zunächst lineare (un)abhängigkeit untersuchen.
habe die gleichung [mm] \vektor{0\\0\\0}=r\vektor{15\\21\\3}+s\vektor{37\\5\\5}+t\vektor{22\\-16\\2}
[/mm]
aufgelöst und es kam 0=0 raus --> linear abhängig!
2. Teil der ersten Aufgabe überfordert mich etwas. wenn die Eckpunkte zu einer Raute gehören würden, müssten sich die Verbindungsvektoren (ich meine die Geraden von A-C und B-D) schneiden und außerdem orthogonal zueinander sein.
also erschaffe ich zunächst Verbindungsvektoren
[mm] \overline{AC} \vektor{37\\5\\5}
[/mm]
[mm] \overline{BD} \vektor{7\\-37\\-1}
[/mm]
hmm, weiter weiß ich leider grade nicht.... evtl erstmal den schnittpunkt herausfinden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 So 18.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a) 4 Vektoren im [mm] R^3 [/mm] sind immer linear abhängig.
Damit die Punkte in einer Ebene liegen müssen die Vektoren AB, BC und CD oder 3 andere Verbindungsvektoren in einer Ebene liegen, also lin abh. sein.
bei einer Raute müssen je 2 der Verbindungsvektoren parallel und gleich lang sein. damits ein Rechteck ist je 2 aufeinander senkrecht (d.h. ihr Skalarprodukt 0 sein, Quadrat senkrecht und gleiche Länge.
(auch bei nem Drachen stehen die Diagonalen senkrecht!)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 So 18.04.2010 | | Autor: | m4rio |
Okay, das mit der Länge berechne ich dann also wie folgt (hoffe ich doch)
[mm] \overline{AB} \vektor{15\\21\\3}
[/mm]
[mm] \overline{BC} \vektor{12\\-6\\2}
[/mm]
[mm] \overline{CD} \vektor{-15\\-21\\-3}
[/mm]
[mm] \overline{DA} \vektor{-37\\-5\\-5}
[/mm]
nun die Werte der Verbindungsvektoren quadrieren und anschließend diw wurzel ziehen
[mm] \overline{AB}
[/mm]
[mm] \wurzel{(15)^2+(21)^2+(3)^2}
[/mm]
[mm] \wurzel{675}
[/mm]
= 25,98 LE ?
dieses Prinzip korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 So 18.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du zuerst die Längen vergleichen willst ist das richtig.
(es reicht zu sehen ob die Quadrate gleich sind)
eigentlich solltest du direkt sehen AB und CD sind antiparallel,und gleich lang. Die Seiten also parallel. ebenso schnell sieht man dass die anderen 2 nicht parallel sind (ich hab die Vektoren nicht überprüft)
jetzt doch , weil ich mich gewundert hab!BC und DA sind falsch!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Mo 19.04.2010 | | Autor: | m4rio |
oh ja, war wohl schon zu spät... :S
[mm] \overline{AB} \vektor{15\\21\\3}
[/mm]
[mm] \overline{BC} \vektor{22\\-16\\2}
[/mm]
[mm] \overline{CD} \vektor{-15\\-21\\-3}
[/mm]
[mm] \overline{DA} \vektor{-22\\16\\-2}
[/mm]
und jetzt erkenne ich an der linearen Abh. von [mm] \oveline{AB} [/mm] & [mm] \overline{CD}, [/mm] sowie den anderen beiden verbindungsvektoren, dass sie parallel sind?
hier erstmal die Abstände
[mm] \overline{AB}
[/mm]
[mm] \wurzel{(15)^2+(21)^2+(3)^2}
[/mm]
= 25,98LE
[mm] \overline{CD} [/mm]
[mm] \wurzel{(-15)^2+(-21)^2+(-3)^2}
[/mm]
= 25,98LE
[mm] \overline{BC}
[/mm]
[mm] \wurzel{(22)^2+(-16)^2+(2)^2}
[/mm]
=27,28LE
[mm] \overline{DA}
[/mm]
[mm] \wurzel{(-22)^2+(16)^2+(-2)^2}
[/mm]
=27,28LE
---> die gegenüberliegenden Verbindungsvektoren sind jeweils gleichlang, es kann sich nur um eine Raute oder ein Quadrat handeln. korrekt?
rechne
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Hi, hab zwar nicht alles nachgerechnet, aber schaut gut aus. Jetzt solltest du mal nach winkeln gucken, wegen deiner Raute-Quadrat-Überlegung.
LG
pythagora
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Mo 19.04.2010 | | Autor: | m4rio |
ok, wenn es ein quadrat ist, muss es mindestens 3 rechte winkel geben, sowie 3 gleichlange seiten... haben wir hier nicht, also müsste es sich um eine raute handeln...
naja, zu den winkeln:
zunächst stell ich 2 geradengleichungen auf [mm] \overline{a} [/mm] , [mm] \overline{b}
[/mm]
[mm] \overline{a}=\vektor{0\\0\\0}+r\vektor{15\\21\\3}
[/mm]
[mm] \overline{b}=\vektor{15\\21\\3}+r\vektor{22\\-16\\2}
[/mm]
korrekt so?
punkt A & B als stützvektor und verbindungsvektoren [mm] \overline{A} [/mm] & [mm] \overline{B} [/mm] als richtunsvektoren
nun diese Glecihsetzen & Schnittp berechnen
dann [mm] \cos\alpha \bruch{\overline{u} * \overline{v}}{\overline{u} * \overline{v}}
[/mm]
hier im buch steht im zähler [mm] \overline{u} [/mm] & overline{v} zusammen in betragsstrichen und im nenner jeweils jede variable in betragsstrichen... wo ist da der unterschied?
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Hallo m4rio!
> dann [mm]\cos\alpha \bruch{\overline{u} * \overline{v}}{\overline{u} * \overline{v}}[/mm]
>
> hier im buch steht im zähler [mm]\overline{u}[/mm] & [mm] \overline{v} [/mm]
> zusammen in betragsstrichen und im nenner jeweils jede
> variable in betragsstrichen... wo ist da der unterschied?
Wenn man die Beträge einzeln nimmt, berechnet man damit die Länge der einzelnen Vektoren. Diese beiden Werte werden anschließend multipliziert.
Bei der anderen Variante berechnet man zunächst das  Skalarprodukt zweier Vektoren.
Gruß vom
Roadrunner
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Hi,
> ok, wenn es ein quadrat ist, muss es mindestens 3 rechte
> winkel geben, sowie 3 gleichlange seiten... haben wir hier
> nicht, also müsste es sich um eine raute handeln...
jap
>
> naja, zu den winkeln:
>
> zunächst stell ich 2 geradengleichungen auf [mm]\overline{a}[/mm] ,
> [mm]\overline{b}[/mm]
>
>
> [mm]\overline{a}=\vektor{0\\0\\0}+r\vektor{15\\21\\3}[/mm]
>
>
> [mm]\overline{b}=\vektor{15\\21\\3}+r\vektor{22\\-16\\2}[/mm]
>
>
> korrekt so?
> punkt A & B als stützvektor und verbindungsvektoren
> [mm]\overline{A}[/mm] & [mm]\overline{B}[/mm] als richtunsvektoren
jup
>
> nun diese Glecihsetzen & Schnittp berechnen
>
> dann [mm]\cos\alpha \bruch{\overline{u} * \overline{v}}{\overline{u} * \overline{v}}[/mm]
>
> hier im buch steht im zähler [mm]\overline{u}[/mm] & overline{v}
> zusammen in betragsstrichen und im nenner jeweils jede
> variable in betragsstrichen... wo ist da der unterschied?
dazu wurde dir ja schon geschrieben.
LG
pythagora
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Mo 19.04.2010 | | Autor: | m4rio |
supi,
[mm] \cos\alpha= \bruch{|15*22+21*(-16)+3*2|}{\wurzel{15^2+21^2+3^2} * \wurzel{22^2+(-16)^2+(2)^2}}
[/mm]
[mm] \bruch{0}{\wurzel{25,98} * \wurzel{27,28}}
[/mm]
und jetzt "entwurzeln und multiplizieren oder werte addieren und [mm] 2\wurzel [/mm] hinschreiben.. so stehts im buch...
da der zähler =0 ist, kommt mir die sache eh nciht ganz koscher vor...
???
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hey.
> [mm]\cos\alpha= \bruch{|15*22+21*(-16)+3*2|}{\wurzel{15^2+21^2+3^2} * \wurzel{22^2+(-16)^2+(2)^2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{0}{\wurzel{25,98} * \wurzel{27,28}}[/mm]
>
> und jetzt "entwurzeln und multiplizieren oder werte
> addieren und [mm]2\wurzel[/mm] hinschreiben.. so stehts im buch...
>
> da der zähler =0 ist, kommt mir die sache eh nciht ganz
> koscher vor...
sag mal wie kommst du auf 0 im Zähler????
LG
pythagora
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Mo 19.04.2010 | | Autor: | m4rio |
15*22=330
+
21*(-16)
+
3*2=6
_____________
0
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Mo 19.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
eine Raute und ein Quadrat haben 4 gleichlange Seiten.
also ist es sicher keine Raute und kein Quadrat: bleibt Rechteck oder Parallelogramm.
dazu muss man nur das Skalarprodukt von AB*BC bilden, da das 0 ist, stehen sie senkrecht. dann ist es also ein Rechteck.
So schnell geht das.
Nur wenn es nicht 0 ist und du den Winkel wissen wolltest musst du mehr rechnen.
so jetz solltest du dir klar machen, wie du den Mittelpunkt M findest.
etwa von A aus 1/2AB+1/2BC (mach dirs an ner Zeichnung klar!
Das ist einfacher als Geraden schneiden
M=A+1/2AB+1/2BC (alles Vektoren)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Mo 19.04.2010 | | Autor: | m4rio |
okay,
Aufgabe c)
dann ist 1/2 [mm] \overline{AB} [/mm] + 1/2 [mm] \overline{BC}
[/mm]
M= [mm] \vektor{18,5\\2,5\\2,5}
[/mm]
dies ist also unser Lotfußpunkt, nun brauchen wir den normalenvektor als Richtungsvektor, hierfür müssen wir die Ebenengleichung zunächst in die Koordinatenform umformen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Mo 19.04.2010 | | Autor: | m4rio |
hmm, habe als koordinatengleichung
[mm] \(5x1+x2-32x2=0 [/mm]
raus... wenn das stimmt, lautet die geradengleichung der höhe
[mm] x=\vektor{18,5\\2,5\\2,5}+r\vektor{5\\1\\-32}
[/mm]
?
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> hmm, habe als koordinatengleichung
>
> [mm]\(5x1+x2-32x2=0[/mm]
Hallo,
die scheint mir nicht zu stimmen.
Gruß v. Angela
>
>
> raus... wenn das stimmt, lautet die geradengleichung der
> höhe
>
>
> [mm]x=\vektor{18,5\\2,5\\2,5}+r\vektor{5\\1\\-32}[/mm]
>
>
> ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mo 19.04.2010 | | Autor: | m4rio |
hmm, schade... erneuter wersuch
[mm] x=\vektor{15\\21\\3}+r\vektor{22\\-16\\2}+s\vektor{-15\\-21\\-3}
[/mm]
x1=15 + 22r -15s
x2=21 - 16r - 21s
x3=3 + 2r - 3s
Wenn wird der Fehler hier iwo stecken... bei der umformung hab ich erneut das gleiche raus...
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> hmm, schade... erneuter wersuch
>
>
> [mm]x=\vektor{15\\21\\3}+r\vektor{22\\-16\\2}+s\vektor{-15\\-21\\-3}[/mm]
>
>
> x1=15 + 22r -15s
>
> x2=21 - 16r - 21s
>
> x3=3 + 2r - 3s
>
>
>
> Wenn wird der Fehler hier iwo stecken... bei der umformung
> hab ich erneut das gleiche raus...
Hallo,
bis hierher kann ich keinen Fehler entdecken.
Du machst ihn erst später.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Mo 19.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte geschrieben:
M=A+1/2AB+1/2BC, du hast das A weggelassen, dann hast du nicht M sondern nur den Vektor von A nach M
Gruss leduart
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> Hallo
> ich hatte geschrieben:
> M=A+1/2AB+1/2BC, du hast das A weggelassen, dann hast du
> nicht M sondern nur den Vektor von A nach M
Hallo,
A liegt hier aber im Nullpunkt.
Gruß v. Angela
> Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Mo 19.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo angela
doof von mir, Danke!
Gruss leduart
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> okay,
>
> Aufgabe c)
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> dann ist 1/2 [mm]\overline{AB}[/mm] + 1/2 [mm]\overline{BC}[/mm]
>
> M= [mm]\vektor{18,5\\2,5\\2,5}[/mm]
>
>
> dies ist also unser Lotfußpunkt, nun brauchen wir den
> normalenvektor als Richtungsvektor,
Hallo,
ja, genau.
Gruß v. Angela
> hierfür müssen wir
> die Ebenengleichung zunächst in die Koordinatenform
> umformen.
>
>
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