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Forum "Algebra" - geom. Summenformel Abwandlung
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geom. Summenformel Abwandlung: Beweisen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:58 Di 20.01.2009
Autor: Stefantastisch

Aufgabe
[Dateianhang nicht öffentlich]

Ich will die geometrische Summenformel beweisen (vermutlich per vollst. Induktion).
Allerdings ist die Formel stets nur in anderer Form auffindbar, weswegen ich nicht in anderen Artikeln/Websites schauen konnte.
Ich bräuchte also eine (vollständige) Lösung für diese Aufgabe.

Hab leider keine Musterlösung zu der Übung und Klausur rückt näher :-S

Ansatz:

Im Induktionsanfang nicht wie sonst n=1 sondern n=0 oder n=2?

Theoretisch die Gleichung mit (1-q) multiplizieren, dann ergänzt sich alles fein weg und fertig?

Oder mit folgender Überlegung die mir jem. gesagt hat?
S = [mm] q^1 [/mm] + [mm] q^2 [/mm] + [mm] q^3 [/mm] + ... + [mm] q^{n-1} [/mm] + [mm] q^n [/mm]          | *q
qS = [mm] q^2 [/mm] + [mm] q^3 [/mm] + [mm] q^4 [/mm] + ... + [mm] q^n [/mm] + [mm] q^{n+1} [/mm]         | -S
qS - S = [mm] q^{n+1} [/mm] - [mm] q^1 [/mm]
... und dann umstellen.
Aber das kann ich net wirklich nachvollziehen.

Das meiste kommt doch aber nur für die allgemeine ("bekannte") Summenformel hin:
Sei [mm] q\in\IR\backslash\{1\}. [/mm] Zeigen Sie, daß für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n}q^i:=q^1+q^2+...+q^n=(q-q^{n-1})/(1-q) [/mm]
Oder mit n-1 über dem Summensymbol oder so?!

Kriegt jemand aus all dem eine schöne, eindeutige, richtige Lösung, hihi?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
        
Bezug
geom. Summenformel Abwandlung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:28 Mi 21.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Stefan,

> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  Ich will die geometrische Summenformel beweisen
> (vermutlich per vollst. Induktion).
>  Allerdings ist die Formel stets nur in anderer Form
> auffindbar, weswegen ich nicht in anderen Artikeln/Websites
> schauen konnte.
>  Ich bräuchte also eine (vollständige) Lösung für diese
> Aufgabe.
>  
> Hab leider keine Musterlösung zu der Übung und Klausur
> rückt näher :-S
>  
> Ansatz:
>  
> Im Induktionsanfang nicht wie sonst n=1 sondern n=0 oder
> n=2?
>  
> Theoretisch die Gleichung mit (1-q) multiplizieren, dann
> ergänzt sich alles fein weg und fertig?
>  
> Oder mit folgender Überlegung die mir jem. gesagt hat?
>  S = [mm]q^1[/mm] + [mm]q^2[/mm] + [mm]q^3[/mm] + ... + [mm]q^{n-1}[/mm] + [mm]q^n[/mm]          | *q
>  qS = [mm]q^2[/mm] + [mm]q^3[/mm] + [mm]q^4[/mm] + ... + [mm]q^n[/mm] + [mm]q^{n+1}[/mm]         | -S
>  qS - S = [mm]q^{n+1}[/mm] - [mm]q^1[/mm]
>  ... und dann umstellen.
>  Aber das kann ich net wirklich nachvollziehen.
>  
> Das meiste kommt doch aber nur für die allgemeine
> ("bekannte") Summenformel hin:
>  Sei [mm]q\in\IR\backslash\{1\}.[/mm] Zeigen Sie, daß für alle
> [mm]n\in\IN[/mm] gilt:
>  [mm]\summe_{i=1}^{n}q^i:=q^1+q^2+...+q^n=(q-q^{n-1})/(1-q)[/mm]
>  Oder mit n-1 über dem Summensymbol oder so?!
>  
> Kriegt jemand aus all dem eine schöne, eindeutige, richtige
> Lösung, hihi?

Die "bekannte" Summenformel geht nicht bei $i=1$, sondern schon bei $i=0$ los

Die Formel ist [mm] $\sum\limits_{i=0}^{n}q^{i}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm]

Was ändert sich hier, wenn die Summe von $i=1$ losläuft?

Es ist ein Summand, nämlich der für $i=0$ weniger als in der bekannten Formel.

Ziehen wir den ab, so ist [mm] $\sum\limits_{i=1}^{n}q^{i}=\left(\sum\limits_{i=0}^{n}q^{i}\right)-\underbrace{q^0}_{=1}$ [/mm]

[mm] $=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}-1=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}-\frac{1-q}{1-q}=\frac{q-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm]

Also genau deine Formel :-)

Zum Beweis: die Idee mit der Induktion ist gut, das geht schnell

Induktionsanfang bei $n=1$

Dann ist [mm] $\sum\limits_{i=1}^{1}q^{i}=q^1=q=\frac{q-q^{1+1}}{1-q} [/mm] \ [mm] \left(=\frac{q-q^2}{1-q}=\frac{q(1-q)}{1-q}\right)$ [/mm]

passt also

Induktionsschritt von [mm] $n\to [/mm] n+1$

Induktionsvoraussetzung: Sei [mm] $n\in\IN, [/mm] n>1$ und gelte [mm] $\red{\sum\limits_{i=1}^{n}q^{i}=\frac{q-q^{n+1}}{1-q}}$ [/mm]

Dann ist [mm] $\sum\limits_{i=1}^{n+1}q^{i}=\red{\left(\sum\limits_{i=1}^{n}q^{i}\right)}+q^{n+1}$ [/mm]

Da habe ich einfach den letzten Summanden, also den für $i=n+1$ aus der Summe herausgezogen und separat hinten drangeschrieben, damit ich bzw. du ;-) auf die verbleibende Summe die Induktionsvoraussetzung anwenden kann bzw. kannst

Den Rest machst du: benutze zuerst die Induktionsvoraussetzung für den roten Ausdruck, dann fasse den Rest zusammen (erweitern ...)

Es muss am Ende [mm] $...=\frac{q-q^{n+2}}{1-q}$ [/mm] herauskommen


LG

schachuzipus


Bezug
        
Bezug
geom. Summenformel Abwandlung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:38 Mi 21.01.2009
Autor: reverend

Hallo Stefantastisch,

freu Dich, dass schachuzipus ein paar Sekunden schneller auf dem Antwort-Button war als ich. Meine Antwort will ich mir trotzdem nicht verkneifen:

Du schlägst zwei Lösungswege vor, den einen gehst Du nicht (Induktion), den andern hast Du nicht durchdacht und verstehst ihn angeblich nicht (den mit Sq) - ich finde das noch nicht einmal den Anfang einer Eigenleistung, wie sie hier in den Forenregeln gefordert und vorausgesetzt wird.

Der Weg, den schachuzipus hier nicht weiterverfolgt, ist übrigens m.E. schneller und einfacher. Aber natürlich gehen beide.

edit: Absatz gelöscht. Da bin ich übers Ziel hinausgeschossen. Pardon.

Grüße,
reverend

Bezug
        
Bezug
geom. Summenformel Abwandlung: Lösung - Korrekt?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:46 Mi 21.01.2009
Autor: Stefantastisch

So, hier ist nun meine Lösung dazu.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Stimmt sie und ist vollständig?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
geom. Summenformel Abwandlung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:41 Do 22.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> So, hier ist nun meine Lösung dazu.
>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> Stimmt sie und ist vollständig?

[daumenhoch]

Jo, war ja auch nicht mehr so viel übrig ;-)

LG

schachuzipus

Bezug
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