geometrische Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 So 27.01.2013 | | Autor: | zitrone |
Guten Abend!
Wir hatten mal die geometrische Folge mit [mm] a_{n+1}= a_{n}*q [/mm] besprochen.
Mein Prof. meinte dazu, dass man anhand der geometrischen Folge den radioaktiven Zerfall bestimmen kann mit folgendem Beispiel:
Pu besitzt eine halbwertszeit von 88 Jahren. Wie viel bleibt nach 44 J.?
Rechnung:
[mm] 0,2*a_{0}= a_{88}*q= a_{0}*q^{88}
[/mm]
[mm] a_{44}= a_{0}*q^{44}
[/mm]
0,5=q^88 => [mm] q=(0,5)^\bruch{1}{88}
[/mm]
[mm] \bruch{a_{44}}{a_{0}} [/mm] = q^44 = [mm] (0,5)^\bruch{44}{88}=0,7071
[/mm]
Ich kann absolut nicht nachvollziehen, wie er auf dieses Ergebnis kam...Die erste Zeile kann ich noch nachvollziehen aber alles andere nicht....
Versteht jemand diese Rechnung und könnte mir bitte helfen?://
LG zitrone
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Hallo,
veruch ichs mal. 
> Guten Abend!
>
> Wir hatten mal die geometrische Folge mit [mm]a_{n+1}= a_{n}*q[/mm]
> besprochen.
>
> Mein Prof. meinte dazu, dass man anhand der geometrischen
> Folge den radioaktiven Zerfall bestimmen kann mit folgendem
> Beispiel:
Du kannst geometrische Folgen im diskreten immer dort anwenden, wo du im kontínuierlichen Fall eine Exponentialfunktion verwenden würdest!
>
> Pu besitzt eine halbwertszeit von 88 Jahren. Wie viel
> bleibt nach 44 J.?
>
> Rechnung:
>
> [mm]0,2*a_{0}= a_{88}*q= a_{0}*q^{88}[/mm]
Das kann ich nicht nachvollziehen, da müssen mehrere Tippfehler drinsein. Richtig wäre
[mm] 0.5*a_0=a_0*q^{88}
[/mm]
> [mm]a_{44}= a_{0}*q^{44}[/mm]
Das sollte klar sein.
> 0,5=q^88 => [mm]q=(0,5)^\bruch{1}{88}[/mm]
Das folgt aus obigem per Division durch [mm] a_0.
[/mm]
>
> [mm]\bruch{a_{44}}{a_{0}}[/mm] = q^44 = [mm](0,5)^\bruch{44}{88}=0,7071[/mm]
>
Hier wurde die Gleichung für [mm] a_{44} [/mm] durch [mm] a_0 [/mm] dividiert und dann für q der ermittelte Wert eingesetzt. Mit
[mm] \bruch{44}{88}=\bruch{1}{2}
[/mm]
folgt dann das Reultat.
Es ist sehr umständlich gerechnet, aber vermutlich wollte euer Prof damit das eine oder andere deutlich machen, das kann man so schlecht sagen und deswegen möchte ich es auch nicht a priori kritisieren.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 So 27.01.2013 | | Autor: | zitrone |
Hallo!
Danke für deine Hilfe:)!
Hast recht..bei der ersten Zeile hab ich mich verschrieben:
> >
> > Mein Prof. meinte dazu, dass man anhand der geometrischen
> > Folge den radioaktiven Zerfall bestimmen kann mit folgendem
> > Beispiel:
>
> Du kannst geometrische Folgen im diskreten immer dort
> anwenden, wo du im kontínuierlichen Fall eine
> Exponentialfunktion verwenden würdest!
>
> >
> > Pu besitzt eine halbwertszeit von 88 Jahren. Wie viel
> > bleibt nach 44 J.?
> >
> > Rechnung:
> >
> > [mm]0,2*a_{0}= a_{88}*q= a_{0}*q^{88}[/mm]
[mm] 0,2*a_{0}= a_{88}= a_{0}*q^{88}[/mm]
[/mm]
> [mm]0.5*a_0=a_0*q^{88}[/mm]
>
> > [mm]a_{44}= a_{0}*q^{44}[/mm]
>
> Das sollte klar sein.
>
> > 0,5=q^88 => [mm]q=(0,5)^\bruch{1}{88}[/mm]
>
> Das folgt aus obigem per Division durch [mm]a_0.[/mm]
Die Division seh ich auch, nur wieso dann [mm] q=(0,5)^\bruch{1}{88} [/mm] ?
> > [mm]\bruch{a_{44}}{a_{0}}[/mm] = q^44 = [mm](0,5)^\bruch{44}{88}=0,7071[/mm]
> >
> Hier wurde die Gleichung für [mm]a_{44}[/mm] durch [mm]a_0[/mm] dividiert
> und dann für q der ermittelte Wert eingesetzt. Mit
Wieso setzt man plötzlich [mm] a_{44} [/mm] ein??
>
> [mm]\bruch{44}{88}=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> folgt dann das Reultat.
>
> Es ist sehr umständlich gerechnet, aber vermutlich wollte
> euer Prof damit das eine oder andere deutlich machen, das
> kann man so schlecht sagen und deswegen möchte ich es auch
> nicht a priori kritisieren.
>
>
> Gruß, Diophant
>
LG zitrone
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Hallo,
> [mm]0,2*a_{0}= a_{88}= a_{0}*q^{88}[/mm][/mm]
Nein, das muss eine 0.5 sein. 0.5 steht für 1/2, es geht doch um die Halbwertszeit, also um diejenige Zeit, in der sich ein exponentiell abnehmender Bestand halbiert!
> > [mm]0.5*a_0=a_0*q^{88}[/mm]
> >
> > > [mm]a_{44}= a_{0}*q^{44}[/mm]
> >
> > Das sollte klar sein.
> >
> > > 0,5=q^88 => [mm]q=(0,5)^\bruch{1}{88}[/mm]
> >
> > Das folgt aus obigem per Division durch [mm]a_0.[/mm]
>
> Die Division seh ich auch, nur wieso dann
> [mm]q=(0,5)^\bruch{1}{88}[/mm] ?
Weil man die Gleichung
q^88=0.5
vermittelst der 88. Wurzel löst, und die kann man eben auch als rationale Potenz [mm] 0.5^{\bruch{1}{88}} [/mm] schreiben.
> > > [mm]\bruch{a_{44}}{a_{0}}[/mm] = q^44 = [mm](0,5)^\bruch{44}{88}=0,7071[/mm]
> > >
> > Hier wurde die Gleichung für [mm]a_{44}[/mm] durch [mm]a_0[/mm] dividiert
> > und dann für q der ermittelte Wert eingesetzt. Mit
>
>
>
> Wieso setzt man plötzlich [mm]a_{44}[/mm] ein??
Weil man a_44 berechnen möchte (nämlich den Bestand nach 44 Jahren!). 
PS: Kann es sein, dass dein eigentliches Problem darin besteht, dass in der Aufgabenstellung die rekursive Darstellung der geometrischen Folge angegeben ist, aber in der Rechnung von Anfang an mit der expliziten Darstellung
[mm] a_n=a_0*q^n
[/mm]
gerechnet wird?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 So 27.01.2013 | | Autor: | zitrone |
Vielen Dank!:D
Jetzt hab ich den Schritt verstanden!
> Hallo,
>
> > [mm]0,2*a_{0}= a_{88}= a_{0}*q^{88}[/mm][/mm]
>
> Nein, das muss eine 0.5 sein. 0.5 steht für 1/2, es geht
> doch um die Halbwertszeit, also um diejenige Zeit, in der
> sich ein exponentiell abnehmender Bestand halbiert!
>
> > > [mm]0.5*a_0=a_0*q^{88}[/mm]
> > >
Meint ich auch..XD
>
> PS: Kann es sein, dass dein eigentliches Problem darin
> besteht, dass in der Aufgabenstellung die rekursive
> Darstellung der geometrischen Folge angegeben ist, aber in
> der Rechnung von Anfang an mit der expliziten Darstellung
>
> [mm]a_n=a_0*q^n[/mm]
>
> gerechnet wird?
>
>
> Gruß, Diophant
Da wurd ich auch nicht ganz schlüssig, wie man von dem einen zum anderen kommt..-.-
LG zitrone
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