geometrische Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 So 19.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\br{(-1)^{k+1}}{3^k}=-\summe_{k=1}^{\infty}\left(-\br{1}{3}\right)^k=-\left(\br{1}{1+\br{1}{3}}-1\right)=\br{1}{4} [/mm] |
Ich weiß schon mal das es eine geometrische Reihe ist, die alterniert und aus [mm] \summe_{k=1}^{\infty}-1^k [/mm] und [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\br{1}{3}^k [/mm] besteht.
Aber es hilft nichts, ich komme nicht auf diese Form und damit auch nicht auf den Grenzwert.
Könnt hir mir helfen, wie der Professor darauf gekommen ist?
|
|
| |
|
Hallo,
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\br{(-1)^{k+1}}{3^k}=-\summe_{k=1}^{\infty}\left(-\br{1}{3}\right)^k=-\left(\br{1}{1+\br{1}{3}}-1\right)=\br{1}{4}[/mm]
> Ich weiß schon mal das es eine geometrische Reihe ist,
> die alterniert und aus [mm]\summe_{k=1}^{\infty}-1^k[/mm] und
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\br{1}{3}^k[/mm] besteht.
>
Das ist völlig falsch.
> Aber es hilft nichts, ich komme nicht auf diese Form und
> damit auch nicht auf den Grenzwert.
>
> Könnt hir mir helfen, wie der Professor darauf gekommen
> ist?
Im Prinzip nein, denn was du eigentlich wissen möchtest, kann kein Mensch verstehen. Um in einem Mathematik-Forum Hilfe zu erhalten, reicht es nicht aus, mit ein paar mathematischen Symbolen um sich zu schmeißen, sondern man muss sein Problem verbal so präzise wie möglich formulieren. Dies hast du jedoch vergessen. Es bleibt somit nichts anderes zu sagen, als: in der ersten Zeile steht die korrekte Berechnung des Grenzwerts komplett da. Das, was du dann schreibst, ist jedoch völlig an den Haaren herbeigezogen. Da du es nicht kommentiert hast, kann man jedoch nicht nachvollziehen, wie du darauf kommst.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 So 19.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
Was oben steht hat der Professor in seiner Lösung geschrieben bis zum Grenzwert.
Aber ich kann den zweiten Schritt nicht nachvollziehen,
wie kommt der Professor auf [mm] -\left(\br{1}{1+\br{1}{3}}-1\right).
[/mm]
Präziser geht es nicht, wenn ichs präziser könnte, würde ich wahrscheinlich nicht fragen.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Was oben steht hat der Professor in seiner Lösung
> geschrieben bis zum Grenzwert.
>
> Aber ich kann den zweiten Schritt nicht nachvollziehen,
>
> wie kommt der Professor auf
> [mm]-\left(\br{1}{1+\br{1}{3}}-1\right).[/mm]
Das ist nichts weiter als die Anwendung der Summenformel für geometrische Reihen. Dabei ist [mm] q=-\tfrac{1}{3}. [/mm] Die 1 muss man noch abziehen, weil die Reihe hier ja erst bei k=1 beginnt, die Summenformel aber schon bei k=0.
> Präziser geht es nicht, wenn ichs präziser könnte,
> würde ich wahrscheinlich nicht fragen.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 So 19.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
Dir Formel muss ich anwenden:
[mm] s_n=a_0\summe_{i=1}^{n}q^k=a_0\br{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
richtig?
Ich habe hier:
[mm] -\summe_{k=1}^{\infty}\left(-\br{1}{3}\right)^k
[/mm]
Daraus ergibt sich für die Formel:
[mm] a_0=-1
[/mm]
[mm] q=-\br{1}{3}
[/mm]
richtig?
aber was ist [mm] q^{n+1}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:09 So 19.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Dir Formel muss ich anwenden:
> [mm]s_n=a_0\summe_{i=1}^{n}q^k=a_0\br{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
> richtig?
>
> Ich habe hier:
> [mm]-\summe_{k=1}^{\infty}\left(-\br{1}{3}\right)^k[/mm]
>
> Daraus ergibt sich für die Formel:
>
> [mm]a_0=-1[/mm]
> [mm]q=-\br{1}{3}[/mm]
>
> richtig?
>
> aber was ist [mm]q^{n+1}?[/mm]
Deine Aufgabe ist den Grenzwert der unendlichen Reihe zu bestimmen.
DieAcht
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Dir Formel muss ich anwenden:
> [mm]s_n=a_0\summe_{i=1}^{n}q^k=a_0\br{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
> richtig?
nein: falsch.
>
> Ich habe hier:
> [mm]-\summe_{k=1}^{\infty}\left(-\br{1}{3}\right)^k[/mm]
>
> Daraus ergibt sich für die Formel:
>
> [mm]a_0=-1[/mm]
> [mm]q=-\br{1}{3}[/mm]
>
> richtig?
Der Wert einer unendlichen geometrischen Reihe berechnet für sich für |q|<1 zu
[mm] \sum_{k=0}^{\infty}q^k=\frac{1}{1-q}
[/mm]
Und wenn du im Besitz von einigermaßen tauglichen Unterlagen zu Analysis 1 bist, dann gehe ich jede Wette ein, dass diese Formel dort drinne steht.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 So 19.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Der Wert einer unendlichen geometrischen Reihe berechnet
> für sich für |q|<1 zu
>
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty}q^k=\frac{1}{1-q}[/mm]
>
>
> Und wenn du im Besitz von einigermaßen tauglichen
> Unterlagen zu Analysis 1 bist, dann gehe ich jede Wette
> ein, dass diese Formel dort drinne steht.
Er braucht dafür kein Analysis Buch.
Es gilt für $|q|<1$:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\alpha_0q^n=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n}\alpha_0q^k=\limes_{n\rightarrow\infty}\alpha_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{\alpha_0}{1-q}
[/mm]
> Gruß, Diophant
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 So 19.01.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Er braucht dafür kein Analysis Buch.
das war auch nicht die Intention meiner Aussage.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 So 19.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
Okey, ich habe es jetzt verstanden, wikipedia hat mir nicht geholfen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 So 19.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Danke für die Rückmeldung.
Ich bin mir sicher, dass bei Wikipedia fast das Gleiche stehen müsste.
Mir ging es eigentlich darum, dass du dir das selber überlegst,
aber dann war es zu spät 
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 So 19.01.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Okey, ich habe es jetzt verstanden, wikipedia hat mir nicht
> geholfen.
Wieso nicht? Ich habe Dir oben direkt den entsprechenden Artikel verlinkt. Die erste Formel, die Dich da anstarrt, ist es auch schon.
Grüße
rev
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Wikipedia
