geometrische Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:48 Fr 30.03.2007 | | Autor: | Wehm |
Hoi.
Ich soll herausfinden, für welche x aus R die Identitäten gelten
[mm] $\sum^\infty_{n=1}x^{-n} [/mm] = - [mm] \sum^{\infty}_{n=0}(\frac{1}{2})^{n+1} (x+1)^n$
[/mm]
Ich betrachte erst einmal die linke Seite und wandle das n=1 um, sodass zu betrachten bleibt [mm] $\sum^\infty_{n=0}x^{-n}-1 [/mm] = - [mm] \sum^{\infty}_{n=0}(\frac{1}{2})^{n+1} (x+1)^n$
[/mm]
Und nun wende ich mal auf links und rechts die geometrische Reihe an.Erstmal links [mm] $\sum^\infty_{n=0}(\frac{1}{x})^n-1 [/mm] = [mm] \frac{1}{1-\frac{1}{x}}-1$
[/mm]
Gilt also für |x|>1.
Und nun für rechts
$- [mm] \sum^{\infty}_{n=0}(\frac{1}{2})^{n+1} (x+1)^n [/mm] =- [mm] \sum^{\infty}_{n=0}(\frac{1}{2}\frac{1}{2})^{n} (x+1)^n [/mm] = - [mm] \sum^{\infty}_{n=0}(\frac{1}{2}(\frac{1}{2}(x+1))^n [/mm] =- [mm] \sum^{\infty}_{n=0}(\frac{1}{2}(\frac{(x+1)}{2})^n [/mm] = ...$ Hier kann man die geometrische Reihe ja anwenden, falls
[mm] $|\frac{x+1}{2}|<1 [/mm] $
[mm] $\gdw$ [/mm] |x+1| < 2
Das ist ja jetzt für -3 und +1 der Fall aber da steht ja noch ein Minus vor der Summe, das Ergebnis soll [mm] x\in(-3,-1) [/mm] sein also müsste dieses minus ja meine plus 1 in eine minus eins umwandeln. ich glaube ich bin ganz auf dem holzweg
Gruß, Wehm
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Hallo Wehm!
Das sieht doch soo schlecht gar nicht aus. Formuliere für beide Reihen die Formeln für die geometrische Reihe:
links: [mm] $\sum^\infty_{n=1}x^{-n} [/mm] \ = \ [mm] -1+\sum^\infty_{n=0}x^{-n} [/mm] \ = \ [mm] -1+\sum^\infty_{n=0}\left(\bruch{1}{x}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] -1+\bruch{1}{1-\bruch{1}{x}} [/mm] \ = \ ...$
rechts: [mm] $-\sum^{\infty}_{n=0}\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}* (x+1)^n [/mm] \ = \ [mm] -\sum^{\infty}_{n=0}\bruch{1}{2}*\left(\frac{1}{2}\right)^n* (x+1)^n [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}*\sum^{\infty}_{n=0}\left(\frac{x+1}{2}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1- \bruch{x+1}{2}} [/mm] \ = \ ...$
Und nun diese beiden Ausdrücke gleichsetzen und nach $x \ = \ ...$ auflösen. Bei der Lösungsmenge aber Deine bereits ermittelten Intervalle berücksichtigen, für welche die Formeln für die geometrische Reihe gelten.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Fr 30.03.2007 | | Autor: | Wehm |
Hoi.
$ [mm] -1+\bruch{1}{1-\bruch{1}{x}} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{1- \bruch{x+1}{2}}$ [/mm]
Ich bekomme da aber x=2 heraus :(
[mm] $\gdw -1+\frac{1}{1-\br{1}{x}} [/mm] = -0.5 * [mm] \frac{1}{1-\br{x+1}{2}}$ [/mm]
[mm] $\gdw \frac{1}{\br{x-1}{x}}-1 [/mm] = [mm] -0.5\frac{1}{\br{2-1-x}{2}}$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{x}{x-1}-1=-\frac{1}{1-x} \gdw \frac{x-1}{x-1}=x-1$
[/mm]
Also x=2
Und wie kann ich damit auf die Identität schließen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:32 Fr 30.03.2007 | | Autor: | Ankh |
x=1 erfüllt die Gleichung auch.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:36 Fr 30.03.2007 | | Autor: | Wehm |
> x=1 erfüllt die Gleichung auch.
Also als Lösung soll wohl [mm] x\in(-3,-1) [/mm] herauskommen. Wie man darauf kommt verstehe ich allerdings gar nicht und ich kriegs auch nicht hin das zu berechnen wie man unschwer erkennen kann.
Aber danke für den Hinweis.
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Hallo Wehm!
Wenn ich die beiden Reihen zunächst weiter umforme / zusammenfasse, erhalte ich:
links: $... \ = \ [mm] -1+\bruch{1}{1-\bruch{1}{x}} [/mm] \ = \ [mm] -1+\bruch{x}{x-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-x+1}{x-1}+\bruch{x}{x-1} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{1}{x-1}$
[/mm]
rechts: $... \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1-\bruch{x+1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch [/mm] {1}{2-(x+1)} \ = \ ... \ = \ [mm] -\bruch{1}{1-x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x-1}$
[/mm]
Wir haben hier durch das Gleichsetzen eine wahre Aussage. Dies bedeutet, die Gleichheit gilt für alle $x \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IR$ [/mm] .
Eingeschränkt wird die Lösung nun aber durch die Intervalle, die sich durch die geometrische Reihe ergeben (siehe Dein 1. Post).
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Fr 30.03.2007 | | Autor: | Wehm |
Neben meinen Rechenfehlern konnte ich |x|>1 nicht interpretieren. Ganz schön ärgerlich. jetz is es aber alles klar, dankeschön!
Gruß, Wehm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:05 Fr 30.03.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Wehm!
Gleichheit gilt natürlich auch, wenn beide Reihen divergieren und jeweils den "Wert" [mm] $+\infty$ [/mm] oder [mm] $-\infty$ [/mm] haben.
Gruß vom
Roadrunner
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