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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Tekker |
| Aufgabe | Zeigen sie mit der für |x|<1 gültigen Reihendarstellung der Funktion
[mm] y=f(x)=\bruch{1}{1-x^{2}}
[/mm]
dass für dasselbe Intervall die Potenzreihe die Funktion
[mm] y=f(x)=\bruch{1}{(1-x)^{2}}
[/mm]
darstellt |
Mein erster Gedanke war: Taylorreihe (Mac Laurin Reihe); habe ich probiert - erfolglos!
Danach könnte auch die geometrische Reihe in Frage kommen, da die Ableitung der "konventionellen" Formel für |x|<1 [mm] (S_{n}= \bruch{1}{1-x}) [/mm] die Funktion [mm] y=f(x)=\bruch{1}{(1-x)^{2}} [/mm] ergibt. Komme dann aber nicht weiter...
Vielen Dank für die Hilfe im vorraus!
P.s.: Habe diese Frage in keinem anderem Forum oder auf anderen Internetseiten gestellt,
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Die Aufgabe ist völlig wirr und fehlerhaft formuliert. Das gibt überhaupt keinen Sinn. Wichtige Angaben und Verbindungen fehlen. Vermutlich geht es um Folgendes:
Zeigen Sie mit Hilfe der bekannten Reihe der Funktion [mm]f(x) = \frac{1}{1-x}[/mm], daß die Funktion [mm]g(x) = \frac{1}{(1 - x)^2}[/mm] im selben Intervall wie [mm]f[/mm] die Reihendarstellung ...xyz... besitzt.
Falls ich recht geraten haben, sage ich nur: differenzieren oder alternativ Cauchy-Produkt!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 So 01.07.2007 | | Autor: | Tekker |
Danke für deinen Tipp.
Habe aber noch folgendes Problem:
das Cauchy Produkt haben wir nicht behandelt, deshalb ich es wohl über die Ableitung zeigen.
Wenn ich die Reihe ableite bekomme ich aber den Faktor n vor die Reihe, der stört.
Wie bekomme ich das n weg?
mfg
Tekker
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> Wenn ich die Reihe ableite bekomme ich aber den Faktor n
> vor die Reihe, der stört.
Hallo,
kannst Du genau sagen, was Dich wobei stört?
Was hast Du? Was möchtest Du erreichen?
Wie heißt die Aufgabe nun eigentlich genau? Hat Leopold_Gast sie richtig erraten?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Mo 02.07.2007 | | Autor: | Tekker |
Hallo Angela,
ja Leopold hat die Aufgabe richtig erraten.
Ich komme einfach nicht drauf zu zeigen, daß
[mm] \summe_{i=0}^{n} q^{k} [/mm]
=
[mm] \summe_{i=0}^{n} k*q^{k-1} [/mm] für |q|<=1 ist.
(=Ableitung von [mm] \summe_{i=0}^{n} q^{k})#
[/mm]
Also im wesentlichen stört mich dieser Faktor k!
Habe es probiert mit:
Taylorenticklung,
& Differenz der Partialsummen zu betrachten, nach dem Schema
[mm] S_{n}-S_{n}*q=...
[/mm]
(Wie gesagt das Cauchy-Produkt hatten wir leider nicht.)
Aber ohne Erfolg!
mfg Tekker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:49 Mo 02.07.2007 | | Autor: | Tekker |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:34 Mo 02.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast wieder nicht die genaue Aufgabe zitiert.
die 2 Reihen sind sicher NICHT gleich! nur bei [mm] e^x [/mm] ist die abgeleitete Reihe = der ursprünglichen.
deshalb hat dich ja LG nach der exakten Aufgabenstellung gefragt.
Bei ihm steht aber ein ..xyz..
jetzt sagst du er hat recht, aber was ist das xyz?
Also nochmal: exakte Aufgabenstellung ohne jede Interpretation von dir. dann vor dem posten nochmal nachlesen!! dann versucht die jemand zu helfen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Mo 02.07.2007 | | Autor: | Tekker |
Sorry für die Verwirrung!
Hier die komplette Aufgabenstellung:
Aufgabe:
gegeben ist die Potenzreihe
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (n+1)\cdot{}x^{n} [/mm] $
a) Berechnen Sie den Konvergenzradius der Reihe
b)Zeigen sie mit der für |x|<1 gültigen Reihendarstellung der Funktion
$ [mm] y=f(x)=\bruch{1}{1-x} [/mm] $
dass für dasselbe Intervall die Potenzreihe die Funktion
$ [mm] y=f(x)=\bruch{1}{(1-x)^{2}} [/mm] $
darstellt
mfg Tekker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Mo 02.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt ist es doch ganz einfach!
wenn die Reihe gleichmäßig konv. was sie für x<1 tut, kann man sie differenzieren, ebenso die fkt selbst. und dann bist du doch fertig!
es steht da ja nicht dass 1/(1-x) und [mm] 1/(1-x)^2 [/mm] dieselbe Reihe haben, was Unsinn ist, sondern dass die am Anfang angegebene, von der du die konv. noch zeigen musst die Potenzreihe von [mm] 1/(1-x)^2 [/mm] ist.
Also bitte immer die Aufgaben selbst und NICHT deine -möglicherweise falsche- Interpretation posten.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Mo 02.07.2007 | | Autor: | Tekker |
Achso, hab mir die Aufgabe viel zu komplizert vorgestellt.
Danke, für die Antwort.
mfg
P.s.: ab dem nächsten Mal immer die komplette Aufgabenstellung.
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