geometrische Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag alle zusammen!
Ich bereite mich zur Zeit auf das Analysis - Vordiplom vor und gehe gerade einige Prüfungsprotokolle durch!
Jezt bin ich bei der folgenden Frage ins Stocken geraten und hoffe, dass mir jemand einen Tipp geben kann.
Die Prüfungsfrage lautet:
"Was ist eine geomietrische Reihe? Beweisen Sie, dass die Glieder eine Nullfolge bilden! "
So: meine Antwort wäre:
Für [mm] \left| x \right| \ge 1 [/mm] ist die Reihe [mm] \summe_{n = 0 }^{ \infty } x^{n} [/mm] divergent
Für [mm] \left| x \right| < 1 [/mm] ist [mm] \summe_{ n = 0 }^{ \infty } x^{n} = \bruch{ 1 }{ 1 - x } [/mm]
Dass die Reihe wirklich gegen diesen Wert konvergiert, würde ich mit der folgenden Rechnung zeigen:
Für [mm] x \ne 1 [/mm] ist:
[mm] \summe_{n = 0 }^{ \infty } x^{n} = 1 + x + x^2 + x^3+ ... x^{k} = \bruch{1 - x^{ k + 1 }}{1 - x } [/mm]
Dann ist
[mm] \summe_{n = 0 }^{ \infty } x^{n} = \limes_{ k \to \infty } \bruch{1 - x^{ k + 1 }}{1 - x } = \bruch{ 1 - 0 }{1 - x } = \bruch{1}{1 - x } [/mm]
Nun habe ich aber nur gezeigt, dass die Reihe gegen den angegebenen Wert konvergiert, aber nicht, dass die Glieder eine NUllfolge bilden....
Aus Vorlesung haben wir einen Satz gehabt, der besagt:
Ist die Reihe [mm] \summe_{n = 1 }^{ \infty} a_{n} [/mm] konvergent, so ist die Folge [mm] a_{n} [/mm] eine Nullfolge.
Aber ich denke nicht , dass das 100%ig reichen würde. Ich müsste das für die geometrische Reihe konkret berechnen.
Kann man da vielleicht mit der konvergenten Majorante argumentieren?
Zum Beispiel die Folge [mm] \bruch{1}{n} [/mm] nehmen, und von der ist ja bekannt, dass diese eine Nullfolge ist..
Wäre sehr nett, wenn mir jemand behilflich sein könnte!
Viele liebe Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 Fr 21.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Guten Tag alle zusammen!
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> Ich bereite mich zur Zeit auf das Analysis - Vordiplom vor
> und gehe gerade einige Prüfungsprotokolle durch!
> Jezt bin ich bei der folgenden Frage ins Stocken geraten
> und hoffe, dass mir jemand einen Tipp geben kann.
>
> Die Prüfungsfrage lautet:
> "Was ist eine geomietrische Reihe? Beweisen Sie, dass die
> Glieder eine Nullfolge bilden! "
>
> So: meine Antwort wäre:
>
> Für [mm]\left| x \right| \ge 1[/mm] ist die Reihe [mm]\summe_{n = 0 }^{ \infty } x^{n}[/mm]
> divergent
>
> Für [mm]\left| x \right| < 1[/mm] ist [mm]\summe_{ n = 0 }^{ \infty } x^{n} = \bruch{ 1 }{ 1 - x }[/mm]
>
Hallo,
das ist schon mal nicht die Antwort auf die Frage. Solltest du nicht lieber den Begriff "geometrische Reihe" erst einmal definieren (als Partialsummenfolge von ...)? Erst danach kannst du näher auf Konvergenzbedingungen eingehen.
Die Glieder [mm] s_n [/mm] der Reihe (die einzelnen Partialsummen) konvergieren im übrigen nicht gegen Null, sondern gegen die Summe der geometrischen Reihe. Gegen Null konvergieren nur die Glieder der geometrischen Zahlenfolge [mm] (a_n)=(a_0*q^n), [/mm] aus denen die geometrische Reihe gebildet wird (falls q<1 gilt).
Für diese Konvergenz musst du nur zeigen, dass ab einem betimmten n alle Glieder [mm] a_n [/mm] in einer [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] von Null liegen.
Viele Grüße
Abakus
> Dass die Reihe wirklich gegen diesen Wert konvergiert,
> würde ich mit der folgenden Rechnung zeigen:
>
> Für [mm]x \ne 1[/mm] ist:
>
> [mm]\summe_{n = 0 }^{ \infty } x^{n} = 1 + x + x^2 + x^3+ ... x^{k} = \bruch{1 - x^{ k + 1 }}{1 - x }[/mm]
>
> Dann ist
>
> [mm]\summe_{n = 0 }^{ \infty } x^{n} = \limes_{ k \to \infty } \bruch{1 - x^{ k + 1 }}{1 - x } = \bruch{ 1 - 0 }{1 - x } = \bruch{1}{1 - x }[/mm]
>
>
> Nun habe ich aber nur gezeigt, dass die Reihe gegen den
> angegebenen Wert konvergiert, aber nicht, dass die Glieder
> eine NUllfolge bilden....
> Aus Vorlesung haben wir einen Satz gehabt, der besagt:
>
> Ist die Reihe [mm]\summe_{n = 1 }^{ \infty} a_{n}[/mm] konvergent,
> so ist die Folge [mm]a_{n}[/mm] eine Nullfolge.
>
> Aber ich denke nicht , dass das 100%ig reichen würde. Ich
> müsste das für die geometrische Reihe konkret berechnen.
> Kann man da vielleicht mit der konvergenten Majorante
> argumentieren?
> Zum Beispiel die Folge [mm]\bruch{1}{n}[/mm] nehmen, und von der ist
> ja bekannt, dass diese eine Nullfolge ist..
>
> Wäre sehr nett, wenn mir jemand behilflich sein könnte!
>
> Viele liebe Grüße
> Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Irmchen!
> Für [mm]x \ne 1[/mm] ist:
>
> [mm]\summe_{n = 0 }^{ \infty } x^{n} = 1 + x + x^2 + x^3+ ... x^{k} = \bruch{1 - x^{ k + 1 }}{1 - x }[/mm]
Tippfehler: [mm] $\summe_{n = 0 }^{ \red{k} } x^{n} [/mm] = 1 + x + [mm] x^2 [/mm] + [mm] x^3+ [/mm] ... [mm] +x^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1 - x^{ k + 1 }}{1 - x }$
[/mm]
> Dann ist
>
> [mm]\summe_{n = 0 }^{ \infty } x^{n} = \limes_{ k \to \infty } \bruch{1 - x^{ k + 1 }}{1 - x } = \bruch{ 1 - 0 }{1 - x } = \bruch{1}{1 - x }[/mm]
>
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> Nun habe ich aber nur gezeigt, dass die Reihe gegen den
> angegebenen Wert konvergiert, aber nicht, dass die Glieder
> eine NUllfolge bilden....
Doch. Du hast hier bei diesem Beweis vorausgesetzt, dass gilt [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}x_k [/mm] \ = \ 0$ . Dies gilt aber nur für $|x| \ < \ 1$ . Und damit ist [mm] $x^k$ [/mm] auch eine Nullfolge.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:59 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Morgen!
Vielen lieben Dank für die Antworten!
Schöne Ostertage!
Viele liebe Grüße
Irmchen
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