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| Aufgabe | | Untersuchung mittels Quotientenkriterium |
Hallo ich habe eine Verständnisfrage zur Anwendung von Quotientenkriterium und Anwendung der Formel für endliche Geometrische Reihen.
Also mittels Quotientenkriterium untersucht man die Reihe auf Konvergenz/Divergenz und wenn eine Reihe Konvergent(endlich) ist dann kann man die Gesetze der geometrischen Reihe anwenden um den Wert zuberechnen [mm] (\bruch{1}{1-q},\forall [/mm] |q|<1) ist das richtig?
gruß Alex
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> Untersuchung mittels Quotientenkriterium
> Hallo ich habe eine Verständnisfrage zur Anwendung von
> Quotientenkriterium und Anwendung der Formel für endliche
> Geometrische Reihen.
Hallo,
die Konvergenz der endlichen geometrischen Reihe [mm] \sum_{k=0}^n q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \qquad q\neq 1\! [/mm] steht doch völlig außer Frage.
Für die unendliche geometrische Reihe [mm] \sum_{k=0}^n q^k [/mm] brauchst Du, wenn bereits gezeigt wurde (Vorlesung, Übung), daß sie für |q|<1 konvergiert, kein Quotientenkriterium mehr.
Wenn |q|<1, dann weißt Du sofort, daß sie konvergiert, und Du kennst den Reihenwert [mm] \bruch{1}{1-q}. [/mm] Den kannst Du ohne Tamtam verwenden, und Du solltest ihn allzeit parat haben.
In der Hoffnung, daß es dies war, was Du wissen wolltest
Gruß v. Angela
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> Also mittels Quotientenkriterium untersucht man die Reihe
> auf Konvergenz/Divergenz und wenn eine Reihe
> Konvergent(endlich) ist dann kann man die Gesetze der
> geometrischen Reihe anwenden um den Wert zuberechnen
> [mm](\bruch{1}{1-q},\forall[/mm] |q|<1) ist das richtig?
>
> gruß Alex
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Danke für die Antwort, wie würde man bei diesen Beispielen am besten vorgehen?
Wie erkennt man ob die Reihen endlich oder unendlich sind und welches Verfahren wendet man am besten jewals an um die Werte auszurechnen?
Erkennt man z.B. bei dem Beispiel Nr.2 die Endlichkeit weil im Zähler 1 steht und man weiß, dass 1 durch ergendwas [mm] \not=0 [/mm] endlich ist und deswegen kann man hier [mm] \bruch{1}{q-1} [/mm] anwenden um den Wert zuberechen?
[mm] 1)\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^3}{3^k}
[/mm]
[mm] 2)\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{3^k}
[/mm]
gruß Alex
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:37 Sa 02.01.2010 | | Autor: | nooschi |
also endlich heisst einfach, dass es nur endlich viele Folgeglieder hat, das heisst: [mm] \summe_{i=1}^{n}. [/mm] unendliche Summen sind: [mm] \summe_{i=1}^{\infty}
[/mm]
in deinem Beispiel betrachtest du offensichtlich unendliche Summen.
zuerst zu 2:
das ist ene geometrische Reihe und [mm] \bruch{1}{3}<1. [/mm] du weisst also dass die Reihe konvergiert und den Grenzwert kannst du mit der Formel berechnen, die du aufgeschrieben hast.
nun zu 1:
das ist keine geometrische Reihe, das heisst du kannst da nichts mit der Formel anfangen. Empfehlen würde ich da das Quaotientenkriterium:
[mm] |\bruch{\bruch{(k+1)^{3}}{3^{k+1}}}{\bruch{k^{3}}{3^{k}}}| [/mm] = [mm] |\bruch{(k+1)^{3}}{3k^{3}}| [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*|1+\bruch{1}{k}|^{3}
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}sup(\bruch{1}{3}*|1+\bruch{1}{k}|^{3}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*\limes_{k\rightarrow\infty}sup|1+\bruch{1}{k}|^{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*1^{3}=\bruch{1}{3}<1
[/mm]
die Reihe ist also konvergent.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:40 Sa 02.01.2010 | | Autor: | capablanca |
danke, ich habe verstanden!
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