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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 Di 12.07.2011 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | | Sei A [mm] \in M_{n}(\IK) [/mm] eine Matrix und [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A. Zeigen Sie, dass die geometrische Vielfachheit von [mm] \lambda [/mm] kleiner oder gleich der algebraischen Vielfachheit von [mm] \lambda [/mm] ist. |
Hallo,
ich habe Frage zu der Lösung :
Bezeichne mit k die geometrische Vielfachheit von [mm] \lambda. [/mm] Dann gibt es linear unabhängige Vektoren [mm] v_{1},...,v_{n} \in \IK^{n} [/mm] mit [mm] Av_{ia}=\lambda v_{i} [/mm] für alle i=1,...,k.Wir ergänzen diese Vektoren zu einer Basis [mm] v_{1},...,v_{n}
[/mm]
von [mm] \IK^{n}. [/mm] Bezeichne mit [mm] S:=(v_{1}|...|v_{n}) \in M_{n}(\IK) [/mm] die entsprechene Transformationsmatrix. Dann hat die Matrix [mm] S^{-1}AS [/mm] die Gestalt
[mm] S^{-1}AS= [/mm] (Bemerkung von mir : hier muss ein Bild stehen. Da es nicht leicht dieses Bild per Computer wiederzugeben, poste ich den Link mit dem Lösungsvorschlag ![[]](/images/popup.gif) Uebungsblatt04loe.pdf
Aufgabe G2 (c)
Schaut bitte also lieber dort rein.
Meint man mit einer Transformationsmatrix die Übergangsmatrix?
Wie kommt man auf diese Gestalt von [mm] S^{-1}AS? [/mm] Soll man dabei wissen ,wie
[mm] S^{-1} [/mm] explizit aussieht (also das Inverse von S berechnen? (Mit Gauss?))
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Di 12.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Igor!
> Sei A [mm]\in M_{n}(\IK)[/mm] eine Matrix und [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert
> von A. Zeigen Sie, dass die geometrische Vielfachheit von
> [mm]\lambda[/mm] kleiner oder gleich der algebraischen Vielfachheit
> von [mm]\lambda[/mm] ist.
>
> ich habe Frage zu der Lösung :
> Bezeichne mit k die geometrische Vielfachheit von [mm]\lambda.[/mm]
> Dann gibt es linear unabhängige Vektoren [mm]v_{1},...,v_{n} \in \IK^{n}[/mm]
> mit [mm]Av_{ia}=\lambda v_{i}[/mm] für alle i=1,...,k.Wir ergänzen
> diese Vektoren zu einer Basis [mm]v_{1},...,v_{n}[/mm]
> von [mm]\IK^{n}.[/mm] Bezeichne mit [mm]S:=(v_{1}|...|v_{n}) \in M_{n}(\IK)[/mm]
> die entsprechene Transformationsmatrix. Dann hat die Matrix
> [mm]S^{-1}AS[/mm] die Gestalt
>
> [mm]S^{-1}AS=[/mm] (Bemerkung von mir : hier muss ein Bild
> stehen. Da es nicht leicht dieses Bild per Computer
> wiederzugeben, poste ich den Link mit dem Lösungsvorschlag
> Uebungsblatt04loe.pdf
> Aufgabe G2 (c)
>
>
> Schaut bitte also lieber dort rein.
>
>
> Meint man mit einer Transformationsmatrix die
> Übergangsmatrix?
Ja. Ein anderer Name ist auch Basiswechselmatrix.
> Wie kommt man auf diese Gestalt von [mm]S^{-1}AS?[/mm] Soll man
> dabei wissen ,wie
> [mm]S^{-1}[/mm] explizit aussieht (also das Inverse von S berechnen?
> (Mit Gauss?))
Nein, du brauchst nicht explizit zu rechnen.
Die $i$-te Spalte von [mm] $S^{-1} [/mm] A S$ sind doch die Koeffizienten, mit denen die $i$-te Spalte von $A S$ bzgl. der Basis [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] dargestellt wird.
Wenn $i [mm] \le [/mm] k$ ist, dann ist $A [mm] v_i [/mm] = [mm] \lambda v_i$.
[/mm]
...also?
LG Felix
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