geordnete Basen, Isomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für ein System von vektoren [mm] b_1, [/mm] ... [mm] ,b_n [/mm] eines [mm] \IK-Vektorraums [/mm] V sind äquivalent:
> Die Vektoren [mm] b_1,...,b_n [/mm] bilden eine geordnete Basis von V
> Die Abbildung [mm] \phi: \IK^n [/mm] -> V
[mm] \phi(\vektor{x_1 \\ ...\\x_n}) [/mm] := [mm] x_1 b_1+..+x_n b_n [/mm] ist ein linearer Isomorphismus. |
Kann ich diese Äquivalenz irgendwie beweisen?
Ich weiß unter einer Basis eines Vektorraums verstehen
wir ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. dh.Zu jedem v ∈ V existieren eindeutige Skalare [mm] \lambda_1,...\lambda_n [/mm] ∈ K sodass v [mm] =\lambda_1 b_1 ...+\lambda_n b_n [/mm] schreiben
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 So 12.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja du solltest das können, wie ist denn ein Isophormismus definiert. nur das musst du zeigen.
Gruss leduart
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ah, jetzt ist mir das klar!
Ich muss
> Linearität
> Biejektivität von [mm] \phi [/mm] zeigen.
Linearität
[mm] \phi(\vektor{x_1 \\ ...\\x_n})+\phi(\vektor{y_1 \\ ...\\y_n})=x_1b_1+...+x_nb_n [/mm] + [mm] y_1b_1+....y_nb_n= (x_1+y_1)b_1+....+(x_n+y_n)b_n [/mm] = [mm] \phi(\vektor{x_1 +y_1\\ ...\\x_n+y_n})
[/mm]
[mm] \lambda \phi(\vektor{x_1 \\ ...\\x_n})= \lambda [/mm] * [mm] (x_1b_1+...+x_nb_n [/mm] ) = [mm] \lambda [/mm] * [mm] x_1b_1 [/mm] + ... [mm] \lambda *x_n b_n= \phi(\vektor{\lambda x_1 \\ ...\\\lambda x_n})
[/mm]
Injektivität:
Sei [mm] \phi(\vektor{x_1 \\ ...\\x_n})=(\vektor{y_1 \\ ...\\y_n})
[/mm]
ZZ. [mm] \vektor{x_1 \\ ...\\x_n}=\vektor{y_1 \\ ...\\y_n}
[/mm]
[mm] \phi(\vektor{x_1 \\ ...\\x_n}) [/mm] = [mm] (\vektor{y_1 \\ ...\\y_n})
[/mm]
[mm] x_1b_1+...+x_nb_n =y_1b_1+....y_nb_n
[/mm]
[mm] (x_1-y_1)b_1+...+(x_n-y_n)b_n=0
[/mm]
Linear unabhängig => Koeffizienten alle 0
[mm] x_1-y_1=0
[/mm]
...
[mm] x_n-y_n=0
[/mm]
<=> [mm] x_1=y_1
[/mm]
....
[mm] x_n=y_n
[/mm]
[mm] <=>\vektor{x_1 \\ ...\\x_n}=\vektor{y_1 \\ ...\\y_n}
[/mm]
Surjektivität:
ZZ.: sei [mm] t_1*b_1+...+t_nb_n \in [/mm] V so muss [mm] \exists \vektor{t_1 \\ ...\\t_n} \in \IK^n [/mm] so dass [mm] \phi(\vektor{t_1 \\ ...\\t_n} )=t_1*b_1+...+t_nb_n
[/mm]
Sei [mm] t_1*b_1+...+t_nb_n \in [/mm] V
Wie mache ich hier weiter?
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> Surjektivität:
> ZZ.: sei [mm]t_1*b_1+...+t_nb_n \in[/mm] V so muss [mm] [s]\exists[/s] [/mm] ein [mm] \vektor{t_1 \\
...\\
t_n} \in \IK^n[/mm] [/mm]
existieren,
> so dass [mm]\phi(\vektor{t_1 \\
...\\
t_n} )=t_1*b_1+...+t_nb_n[/mm]
>
> Sei [mm]t_1*b_1+...+t_nb_n \in[/mm] V.
Es ist [mm] \phi(\vektor{t_1 \\
...\\
t_n} )=t_1*b_1+...+t_nb_n.
[/mm]
Fertig.
Ein Wörtchen wäre noch zur Wohldefiniertheit von [mm] \phi [/mm] zu verlieren.
LG Angela
>
> Wie mache ich hier weiter?
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Hallo, danke
Wie zeige ich die Wohldefiniertheit?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Mo 13.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, danke
> Wie zeige ich die Wohldefiniertheit?
Was Angela damit gemeint hat, ist mir nicht klar. Durch
$ [mm] \phi(\vektor{x_1 \\ ...\\x_n}) [/mm] $ := $ [mm] x_1 b_1+..+x_n b_n [/mm] $
wird eine einwandfreie lin. Abb. definiert.
FRED
>
> LG
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> > Hallo, danke
> > Wie zeige ich die Wohldefiniertheit?
>
> Was Angela damit gemeint hat, ist mir nicht klar. Durch
>
>
>
> [mm]\phi(\vektor{x_1 \\
...\\
x_n})[/mm] := [mm]x_1 b_1+..+x_n b_n[/mm]
>
> wird eine einwandfreie lin. Abb. definiert.
In der Tat...
Ich hatte wohl im Geiste die Definitionsgleichung geändert.
LG Angela
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