geordnete Basis < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 So 18.01.2009 | | Autor: | Firecrow |
| Aufgabe | B= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 &0 \\ 1 & 1 & 1} [/mm] und B'= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 1 } [/mm] sind geordnete Basen von V:= [mm] \IR^3.
[/mm]
i) [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] haben die Darstellungen [mm] \pmat{ -2 \\ 0 \\ 1 } [/mm] respektive [mm] \pmat{ 3 \\ -1 \\ 2 } [/mm] bezüglich B. Welche Darstellungen haben sie bezüglich E= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] und bezüglich B'?
ii) Sei [mm] \delta_{Q} [/mm] : [mm] \IR^3 \to \IR^3, \delta(x) [/mm] := Ax mit A:= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 \\ -3 & 2 & -1 \\ 5 & -2 & 3 } [/mm] . Berechnen Sie die Übergangsmatrix [mm] B[\delta_{Q}]B'. [/mm] |
Ich sitz schon fast das ganze Wochenende an dieser Aufgabe und hab irgendwie keine richtige Idee, wie ich die angehen soll.
Bei i) hab ich mir erst gedacht irgendwie mit gleichsetzen, aber irgendwie klappt das nich so wirklich.
Könnt mir zu beiden Teilen vielleicht einen kleinen Denkanstoss geben??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 So 18.01.2009 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Die Darstellung [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ 1} [/mm] bezüglich B bedeutet so viel wie
[mm] -2*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+1*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}=\vektor{-2 \\ -2 \\ -1}
[/mm]
Das ist auch die Darstellung bezüglich der Standardbasis.
Quasi ist B die Übergangsmatrix von deiner Basis zur Standardbasis.
Den Übergang bekommst du mit
[mm] v_E=B*v_B [/mm]
hin.
Aufgabe ii) versteh ich leider nicht so richtig, wegen der mir unbekannten Bezeichnung.
Nur denke ich, dass du erstmal die Übergangsmatrix von B zu B' und/oder die Inverse davon brauchst, was den Übergang von B' zu B entsprechen würde.
Da schaust du einfach, mit welchen Vektoren aus B du die BAsisvektoren von B' darstellen kannst.
Der Vektor [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 3} [/mm] lässt sich zum Beispiel darstellen durch
[mm] 1*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+(-2)*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}+4*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Also ist die erste Spalte deiner Übergangsmatrix
[mm] \vektor{1 \\-2 \\ 4}
[/mm]
Das selbe machst du nun mit den restlichen Vektoren von B'.
Wenn ich jetzt wüsste, was [mm] $B\delta_Q [/mm] B'$ bedeutet, könnt ich dir auch weiter helfen. Ist A die Darstellungsmatrix bezüglich B oder E?
Hoffe du hast das Prinzip verstanden, wie man Vektoren bezüglich einer bestimmten Basis darstellt. Es kommt immer auf die Koeffizienten an, was dann deine Vektoren sind.
Schönen Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:50 So 18.01.2009 | | Autor: | Firecrow |
Dank dir.
Das Prinzip hab ich verstanden und konnte auch soweit alles lösen. Allerdings is mir auch nich so ganz schlüssig, was es mit A auf sich hat. Ich hätte jetzt gedacht, dass es die Darstellungsmatrix bezüglich E ist.
Gruss Fire
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:13 So 18.01.2009 | | Autor: | max3000 |
Wenn das bezüglich E ist, dann musst du erst von B nach E, dann A anwenden, dann nach B'.
Also ist die Darstellungsmatrix [mm] B^{-1}*A*B'.
[/mm]
Bin mir aber nicht ganz sicher.
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