geordnete Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen oder widerlegen Sie:
1. Jede noethersch geordnete Menge hat ein minimales Element.
2. Jede noethersch geordnete Menge hat ein kleinstes Element.
3. Hat eine geordnete Menge ein kleines Element, so ist die
Menge noethersch |
meine frage dazu lautet einmal,
was heißt noethersch und
wo liegt der unterschied zwischen minimalen und kleinsten element?
in den vorlesungen geht das irgendwie nicht heraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Zeigen oder widerlegen Sie:
>
> 1. Jede noethersch geordnete Menge hat ein minimales
> Element.
>
> 2. Jede noethersch geordnete Menge hat ein kleinstes
> Element.
>
> 3. Hat eine geordnete Menge ein kleines Element, so ist die
> Menge noethersch
> meine frage dazu lautet einmal,
> was heißt noethersch und
> wo liegt der unterschied zwischen minimalen und kleinsten
> element?
> in den vorlesungen geht das irgendwie nicht heraus.
Hallo,
auch wenn es Dir in der Vorlesung nicht deutlich geworden ist, worum es geht:
Kannst Du die Definition für noethersch angeordnet aufschreiben?
Ebenso die für minimales und kleinstes Element?
Denn wenn wir nicht wissen, worüber wir reden, brauchen wir gar nicht anzufangen.
Schreib also die Definitionen auf, und das, was Du daran nicht verstehst, dazu.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | das hier sind definitionen:
die geordnete Menge ( M, [mm] \le) [/mm] heißt noetherisch geordnet, falls jede Teilmenge N [mm] \subseteq [/mm] M mit N [mm] \not= \emptyset [/mm] ein minimales Element besitzt.
Beispielsweise ist ( [mm] \IN, \le) [/mm] noethersch. Hingegen ist (IR, [mm] \le) [/mm] nicht noethersch.
Man kann noethersch auch anders beschireben:
(M, [mm] \le) [/mm] noethersch [mm] \gdw [/mm] Jede Kette [mm] (m_{i})_{i \in \IN} [/mm] in (M, [mm] \le) [/mm] wird stationär.
So soviel zu nothersch,
Weiterhin
Defintion
a) Eine geordnete Menge oder eine Ordnung ist ein Paar (M, [mm] \le) [/mm] mit einer Menge
M [mm] \not= \emptyset [/mm] und eine Ordnungsrelation [mm] \le \in 2^{MxM}.
[/mm]
b) Es seien (M, [mm] \le) [/mm] eine geordnete Menge und N [mm] \subseteq [/mm] M. Ein Element x [mm] \subseteq [/mm] N heißt
größtes Element von $ N [mm] :\gdw \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] N: y [mm] \le [/mm] x $
kleinstes Element von $ N [mm] :\gdw \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] N : x [mm] \le [/mm] y $
maximales Element von $ N [mm] :\gdw \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] N : x [mm] \le [/mm] y [mm] \to [/mm] x = y $
minimales Element von $ N [mm] :\gdw \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] N : y [mm] \le [/mm] x [mm] \to [/mm] y = x $
c) Eine Folge $ [mm] (m_{i})_{i \in \IN}$ [/mm] heißt eine (abzählbar-unendliche aufsteigende) Kette, falls [mm] m_{i} \le m_{i+k} [/mm] für alle i [mm] \in \IN [/mm] gilt. Die Kette wird stationär, falls es ein j [mm] \in \IN [/mm] gibt, so dass [mm] m_{j} [/mm] = [mm] m_{j+k} [/mm] für alle k [mm] \in \IN [/mm] gilt.
|
der erste teil ist ja verständlich,
die letzten defintionen a) und b) glaube ich auch zu verstehen, obwohl ich den unterschied zwischen größten und maximalen Element nicht verstehe, naja und das halt auf die aufgabe zu beziehen,
wäre für jede Hilfe, Tipp dankbar!
|
|
|
| |
|
> das hier sind definitionen:
> die geordnete Menge ( M, [mm]\le)[/mm] heißt noetherisch geordnet,
> falls jede Teilmenge N [mm]\subseteq[/mm] M mit N [mm]\not= \emptyset[/mm]
> ein minimales Element besitzt.
> b) Es seien (M, [mm]\le)[/mm] eine geordnete Menge und N [mm]\subseteq[/mm]
> M. Ein Element x [mm]\subseteq[/mm] N heißt
> kleinstes Element von [mm]N :\gdw \forall y \in N : x \le y[/mm]
>
> minimales Element von [mm]N :\gdw \forall y \in N : y \le x \to y = x[/mm]
Hallo,
den Unterschied zwischen minimalem und kleinstem Element solltest Du zur Lösung der Aufgabe schon verstehen.
Es ist schon so eine Art Hirnverzwirner.
Zunachst das kleinste Element:
Wenn eine Menge ein kleinstes Element hat, dann sind alle anderen Elemente der Menge größer.
Nun das minimale Element:
kein Element der fraglichen Menge ist kleiner.
Ich versuche das anschaulich klar zu machen:
Nimm eine Schulklasse, die sich im Sportunterricht der Größe nach aufstellt.
Meist wird es ein kleinstes Kind geben. Das ist das kleinste Element der Schulklasse..
Jetzt ist aber auch eine Schulklasse denkbar, in welcher es drei Kinder gibt, die gleichgroß sind und kleiner als alle anderen. Alle drei sind minimale Elemente der Schulklasse.
(Ich hoffe, Du bist so begeistert von meinem Beispiel wie ich es bin...)
Nun können wir uns den Aufgaben zuwenden.
>1. Jede noethersch geordnete Menge hat ein minimales Element.
Das ist sehr, sehr einfach. Bedenke, daß jede Menge Teilmenge von sich selber ist. Und guck' oben in der Definition.
>2. Jede noethersch geordnete Menge M hat ein kleinstes Element.
Wir wissen aus 1., daß M ein minimales Element m hat.
Angenommen, das wäre nicht das kleinste Element. Dann gäbe es ein weiteres minimales Element m' mit [mm] m\not=m'.
[/mm]
Betrachte jetzt die Teilmenge [mm] T:=\{m,m'\} \subseteq [/mm] M. Als Teilmenge einer noetherschen Menge hat sie ein minimales Element.
Also ist m minimales Element oder m' minimales Element von T.
O.B.d.A. sei m minimales Element
==> ... (jetzt zum Widerspruch führen durch Spiel mit den drei Definitionen.)
> 3. Hat eine geordnete Menge M ein kleines Element, so ist die Menge noethersch
Sei m das kleinste Element von M. Dann sind alle anderen Elemente von M größer.
Angenommen, es wäre M nicht noethersch.
Dann gäbe es eine Teilmenge T von M, die kein minimales Element hat,
was bedeutet, daß man zu jedem Element von T eines findet, welches kleiner ist.
Nun ist aber T [mm] \subseteq [/mm] M ==> ... (Widerspruch herausfinden)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 So 29.10.2006 | | Autor: | wulfstone |
ja das klingt alles sehr einleuchtend,
und vor allem ihr beispiel mit der klasse,
sehr gut gewählt,
ich werde mich denn jetzt mal an die aufgabe machen
vielen vielen dank, mensch mir ist das schon total unangenehm,
dass sie so viel zeit investieren um mir solche für sie wahrscheinlich
"trivialen  " fragen zu beantworten.
Man sieht sich ja immer zwei mal im leben, vielleicht kann ich
mich irgendwann einmal revanchieren.
Nochmals danke und einen schönen sonntag noch!!
|
|
|
| |
|
hallo angela, ich habe die selben aufgabe wie wulfstone zu lösen und das mit den kleinesten und minimalen elementen habe ich prinzipiell schon verstanden.
allerdings habe ich nun versucht deinen lösungsvorschlägen zu folgen, bin aber leider nich wirklich weiter gekommen. kannst du vielleicht deine ausführungen weiter ausführen?
warum sind eigentlich natürliche zahlen noethersch geordnet und die reellen zahlen nicht?
vielen dank im voraus!
|
|
|
| |
|
> hallo angela, ich habe die selben aufgabe wie wulfstone zu
> lösen und das mit den kleinesten und minimalen elementen
> habe ich prinzipiell schon verstanden.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
>
> allerdings habe ich nun versucht deinen lösungsvorschlägen
> zu folgen, bin aber leider nich wirklich weiter gekommen.
> kannst du vielleicht deine ausführungen weiter ausführen?
Gerne. Damit es sinnvoll ist, müßte ich aber merken, wo Dein Verständnis aufhört.
Kannst Du die kl. Beweise erklären, so weit wie Du mitkommst, und dann formulieren, was Dir nicht klar ist?
>
> warum sind eigentlich natürliche zahlen noethersch geordnet
> und die reellen zahlen nicht?
Ich drücke das mal etwas flapsig aus:
Es hängt damit zusammen, daß die natürlichen Zahlen einen "Anfang" haben, nämlich die Null bzw. (je nach verwendeter Def.) die Eins, und daß sie mit sehr weiten Abständen in der Landschaft liegen, Perlen auf einer gedachten Linie.
Bei den reellen Zahlen ist das anders, die sind nicht vereinzelt, sondern liegen dicht zusammen, so dicht, daß immer noch eine dazwischen liegt. Im Vergleich zu den Perlen oben eher wie ein durchgehendes Band.
> das hier sind definitionen:
> die geordnete Menge ( M, $ [mm] \le) [/mm] $ heißt noetherisch geordnet,
> falls jede Teilmenge N $ [mm] \subseteq [/mm] $ M mit N $ [mm] \not= \emptyset [/mm] $
> ein minimales Element besitzt.
Das mit dem minimalen Element muß ja für jede Teilmenge gelten, also auch für die Menge selber. Tja, [mm] \IR [/mm] - hat diese Menge ein minimales Element?
Oder schau Dir die offenen Intervalle an! In diesen Intervallen gibt's kein minimales oder kleinstes Element, denn die untere Intervallgrenze liegt ja gar nicht mehr im Intervall.
Diese Fisematenten machen die natürlichen Zahlen nicht.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Di 31.10.2006 | | Autor: | InfoErsti |
danke für die klare darstellung! wenn die profs in der uni mal von ihren hohen rössern absteigen und das so erklären könnten, wäre die welt eine bessere...
|
|
|
| |
|
Hallo,
lies Dir dies hier mal durch. Paßt das mit der Vorlesung zusammen ?
Gruß
zahlenspieler
|
|
|
|
