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| Aufgabe | Im Raum [mm] $R^4$ [/mm] seien folgende Vektoren gegeben:
a = [mm] \pmat{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 }, \quad [/mm] b = [mm] \pmat{1 \\ 2 \\ -1 \\ 0 } \quad [/mm] c = [mm] \pmat{2 \\ -1 \\ 3 \\ -5 } [/mm] und d = [mm] \pmat{-1 \\ 2 \\ -3 \\ 4} [/mm]
a) Zeigen Sie, dass diese vier Vektoren linear abhängig sind und geben Sie eine Abhängigkeitsbeziehung an.
b) Gibt es einen Vektor $v [mm] \in \IR$, \, [/mm] v [mm] \neq [/mm] o$, der orthogonal zu den gegebenen Vektoren a,...d ist? (Begründung)
c) Welcher Vektor $x [mm] \in span\{a,b\}$ [/mm] hat von c den geringsten Abstand? |
Das ist eine Klausuraufgabe von den Klausuren bei uns im letzten Jahr.
a) Bei der erstene Aufgabe kann ich die lineare Abhängigkeit nachweisen, indem ich das GS (mit [mm] $\lambda$ [/mm] als Variable aufstelle. Dann bekomme ich [mm] $\lambda_3 [/mm] = [mm] -\frac{4}{5}, \quad \lambda_2 [/mm] = [mm] \frac{3}{5} \quad \lambda_1 [/mm] = 0$ Damit bekomme ich eine Lösung für das Gleichungssystem heraus und somit ist die Abhängigkeit nachgewiesen.
Was wäre hier die Abhängigkeitsbeziehung, bzw. wie sieht der Weg dahin aus?
b) Lösung aus Aufgabe a) bedeutet, dass eben nicht alle Orthogonal zueinander sind und ich noch eine weiteren Vektor für die vollständige Orthonormalbasis finden muss, da es sich um den [mm] $\IR^4$ [/mm] handelt. Das bedeutet es muss noch einen weiteren orthogonalen Vektor zu a, b, c, d geben oder? Ist das richtig?
c) Welcher vektor $x [mm] \in span\{a,b\} [/mm] $ hat von c den geringsten Abstand?
Hier bin ich mir nicht so sicher:
Meine Herangehensweise: Erstmal schaue ich noch, ob a,b,c denn voneinander abhängig sind. Meiner Meinung nach sind sie das NICHT, weil wenn ich ein zeilenweises GS aufstelle in der 4. Zeile 0=5 steht. Das bedeutet doch eigentlich, dass c Orthogonal zu a, wie auch b ist und somit habe ich den geringsten Abstand am Ursprung und von da aus wird er größer.
Ich gehe aber davon aus, dass ich einen Fehler gemacht habe, denn ich denke die Aufgabe ist eher eindeutig gestellt. Also dürften sie eigentlich voneinander Abhängig sein und es gibt einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht, welche von span{a,b} erzeugt wird. Dieser der Senkrecht darauf steht und in c endet müsste dann der gesuchte Vektor sein.
Ich kann sich das alles so schlecht vorstellen, weil es sich um den [mm] $\IR^4$ [/mm] handelt.
Könnt ihr meine Herangehensweise korrigieren. Das wäre super nett.
Viele Grüße,
Cafearabica
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Cafearabica,
> Im Raum [mm]R^4[/mm] seien folgende Vektoren gegeben:
> a = [mm]\pmat{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 }, \quad[/mm] b = [mm]\pmat{1 \\ 2 \\ -1 \\ 0 } \quad[/mm]
> c = [mm]\pmat{2 \\ -1 \\ 3 \\ -5 }[/mm] und d = [mm]\pmat{-1 \\ 2 \\ -3 \\ 4}[/mm]
> a) Zeigen Sie, dass diese vier Vektoren linear abhängig
> sind und geben Sie eine Abhängigkeitsbeziehung an.
> b) Gibt es einen Vektor $v [mm]\in \IR$, \,[/mm] v [mm]\neq[/mm] o$, der
> orthogonal zu den gegebenen Vektoren a,...d ist?
> (Begründung)
> c) Welcher Vektor [mm]x \in span\{a,b\}[/mm] hat von c den
> geringsten Abstand?
> Das ist eine Klausuraufgabe von den Klausuren bei uns im
> letzten Jahr.
>
> a) Bei der erstene Aufgabe kann ich die lineare
> Abhängigkeit nachweisen, indem ich das GS (mit [mm]\lambda[/mm] als
> Variable aufstelle. Dann bekomme ich [mm]\lambda_3 = -\frac{4}{5}, \quad \lambda_2 = \frac{3}{5} \quad \lambda_1 = 0[/mm]
> Damit bekomme ich eine Lösung für das Gleichungssystem
> heraus und somit ist die Abhängigkeit nachgewiesen.
>
> Was wäre hier die Abhängigkeitsbeziehung, bzw. wie sieht
> der Weg dahin aus?
>
[mm]d=\lambda_{1}*a+\lambda_{2}*b+\lambda_{3}*c[/mm]
> b) Lösung aus Aufgabe a) bedeutet, dass eben nicht alle
> Orthogonal zueinander sind und ich noch eine weiteren
> Vektor für die vollständige Orthonormalbasis finden muss,
> da es sich um den [mm]\IR^4[/mm] handelt. Das bedeutet es muss noch
> einen weiteren orthogonalen Vektor zu a, b, c, d geben
> oder? Ist das richtig?
>
Den orthogonalen Vektor hast Du doch schon fast ermittelt.
Setze [mm]\lambda_{4}=1[/mm], dann ist
[mm]\pmat{\lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\ \lambda_{3} \\ \lambda_{4}}[/mm]
der gesuchte orthogonale Vektor.
> c) Welcher vektor [mm]x \in span\{a,b\}[/mm] hat von c den
> geringsten Abstand?
> Hier bin ich mir nicht so sicher:
> Meine Herangehensweise: Erstmal schaue ich noch, ob a,b,c
> denn voneinander abhängig sind. Meiner Meinung nach sind
> sie das NICHT, weil wenn ich ein zeilenweises GS aufstelle
> in der 4. Zeile 0=5 steht. Das bedeutet doch eigentlich,
> dass c Orthogonal zu a, wie auch b ist und somit habe ich
> den geringsten Abstand am Ursprung und von da aus wird er
> größer.
>
Der Abstandsvektor c-x muss orthogonal zu den Vektoren a und b sein.
> Ich gehe aber davon aus, dass ich einen Fehler gemacht
> habe, denn ich denke die Aufgabe ist eher eindeutig
> gestellt. Also dürften sie eigentlich voneinander
> Abhängig sein und es gibt einen Vektor, der senkrecht auf
> der Ebene steht, welche von span{a,b} erzeugt wird. Dieser
> der Senkrecht darauf steht und in c endet müsste dann der
> gesuchte Vektor sein.
>
> Ich kann sich das alles so schlecht vorstellen, weil es
> sich um den [mm]\IR^4[/mm] handelt.
> Könnt ihr meine Herangehensweise korrigieren. Das wäre
> super nett.
>
> Viele Grüße,
>
> Cafearabica
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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