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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Do 12.05.2005 | | Autor: | lumpi |
Hallo meine lieben ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!
Ich hab eine Funktion g(t):=( t cost, t sin [mm] t,\gamma*t) [/mm] gegeben wobei r>0 und [mm] \gamma \not= [/mm] 0 sein soll! Ich soll die Geschwindigkeit berechnen mit der die Kurve ( die funktion durchlaufen wird)!
Dazu hab ich den geschwindigkeitsvektor ausgerechnet: [mm] \pmat{ cos t- t sin t \\ sin t +t cos t \\ \gamma}
[/mm]
wie komm ich nun auf die Geschwingigkeit? Ich hab das Integral gebildet
[mm] \integral [/mm] { [mm] \wurzel{(cos t- t sin t)²+ (sin t+ t cos t)² + \gamma ²}dt}
[/mm]
da kürzt sich so einiges weg und ich komme letztendlich auf
das Integral von [mm] \wurzel{1+t²+ \gamma ²}
[/mm]
ist das richtig, wenn ja weiß ich nicht wie ich das integral nach t integrieren soll!
vielleicht ist aber auch die aufgabe falsch von meinem prof abgetippt worden, weil ja kein r gegeben ist, r aber >0 sein soll!? hat jemand ne idee`?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Do 12.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ich hab eine Funktion g(t):=( t cost, t sin [mm]t,\gamma*t)[/mm]
> gegeben wobei r>0 und [mm]\gamma \not=[/mm] 0 sein soll! Ich soll
mit r>0 ist wohl t>0 gemeint, denn r kommt nicht vor, aber, warum man t>0 braucht, weiss ich nicht.
> die Geschwindigkeit berechnen mit der die Kurve ( die
> funktion durchlaufen wird)!
> Dazu hab ich den geschwindigkeitsvektor ausgerechnet:
> [mm]\pmat{ cos t- t sin t \\ sin t +t cos t \\ \gamma}[/mm]
das ist doch die Geschwindigkeit! Wenn du einfach den Betrag der Geschwindigkeitwillst, den hast du doch auch schon!!
> komm ich nun auf die Geschwingigkeit? Ich hab das Integral
> gebildet
> [mm]\integral[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\wurzel{(cos t- t sin t)²+ (sin t+ t cos t)² + \gamma ²}dt}[/mm]
>
> da kürzt sich so einiges weg und ich komme letztendlich auf
> das Integral von [mm]\wurzel{1+t²+ \gamma ²}[/mm]
> ist das richtig,
Ja!
Das Integral brauchst du nicht!! Das wäre der Weg! und dann wärs auch einfacher komponentenweise.
> wenn ja weiß ich nicht wie ich das integral nach t
> integrieren soll!
> vielleicht ist aber auch die aufgabe falsch von meinem
> prof abgetippt worden, weil ja kein r gegeben ist, r aber
> >0 sein soll!? hat jemand ne idee'?
vielleicht stand ursprünglich noch en r bei x und y und dann ist ihm aufgefallen, dass t auch ein veränderlicher radius ist und er hats weggelassen. wahrscheinlich also t>0
Ich hoff du siehst, dass das ne Art "Schraubenlinie" ist, die aber immer weiter spiralig nach aussen läuft.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Do 12.05.2005 | | Autor: | lumpi |
ich versteh nicht so ganz was du meinst mit dem betrag der geschwindigkeit!ich hab das bisher immer so verstanden das der weg die geschwindigkeit ist, jetzt ist das Integral aber die Länge des Geschwindigkeitsvektors oder wie? naja ich dank dir für deine hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Do 12.05.2005 | | Autor: | Zai-Ba |
Hallo lumpi!
Was genau mit der Geschwindigkeit gemeint ist, mit der die Fkt durchlaufen wird, weiß ich leider nicht (hab ja eure Vorlesung nicht gehört  )
Aber Grundsätzlich zu Vektoren:
Ein Vektor beinhaltet zwei interessante Informationen:
1. seine Länge
2. seine Richtung
Du kannst also den Vektor so zerlegen, dass er immernoch in die gleiche Richtung zeigt, aber die Länge 1 hat. Dann musst du ihn nur noch mit seiner Länge multiplizieren, um das Original wieder zu erhalten. Das klingt jetzt zwar, wie 'durch-den-Rücken-in-die-Brust', ist aber hilfreich, um die Bedeutungen zu verstehen.
Kümmern wir uns zuerst um die Richtung des Vektors. Diese sagt dir - na, rate mal - Genau! die Richtung, in der die Funktion in diesem Ort läuft.
Da der Geschwindigkeitsvektor die gesamte Bewegung exakt beschreibt, müssen alle Informationen, die nicht in der Richtung stecken, in der Länge stecken! (Wenn du läufst, stellt sich nicht nur die Frage, wohin du rennst, sondern auch wie schnell!) und genau das sagt dir die Länge des Vektors.
<Beispiel>
[mm] \vmat{ \vektor{3 \\ 4 \\ 5} }=\wurzel{3^{2}+4^{2}+5^{2}}=7,07
[/mm]
[mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 5}=7,07*\vektor{ \bruch{3}{7,07} \\ \bruch{4}{7,07} \\ \bruch{4}{7,07}}=7,07*\vektor{0,424 \\ 0,566 \\ 0,707}
[/mm]
</Beispiel>
Um aus einer Geschwindigkeit [m/s] die Strecke [m] aus zurechnen, die in einer gegebenen Zeit [s] durchlaufen wird, musst du die Geschwindigkeit mit der Zeit multiplizieren. Wenn die Geschwindigkeit nicht konstant ist, musst du integrieren. Das bedeutet, dass du infenitesimal kleine Geschwindigkeitsvektoren mit unendlich kurzen Zeitintervallen multiplizierst und diese dann aufaddierst. Beim Vergleich der Einheiten fällt auf, dass eine Strecke heraus kommt.
[m/s]*[s]=[m]
Beim Integrieren summierst du also nicht die Länge des Geschwindigkeitsvektors auf, sondern unendlich viele unendlich kleine Vektoren auf, die an jeder Stelle in eine andere Richtung zeigen. Somit erhältst du die Länge einer beliebig gebogenen Funktion.
Na, alles verstanden?!
Viel Erfolg, Zai-Ba
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Do 12.05.2005 | | Autor: | leduart |
> ich versteh nicht so ganz was du meinst mit dem betrag der
> geschwindigkeit!ich hab das bisher immer so verstanden das
> der weg die geschwindigkeit ist,
Du fragst im Physikforum, also nehm ich an du kannst ein bissel Physik?!
Wie kannst du annehmen "dass der Weg die Geschwindigkeit ist"?
den Unterschied zwischen Vektor und seinem Betrag hat die ja Zai-Ba schon erklärt. wenn du mit 10m/s nachNorden und 10m/s nach Westen gehst, gehst du mit insgesamt ca. 14m/s nach Nordwesten!
Und der Weg den du zurücklegst ist nicht 14m sondern es kommt auf die Zeit an.
Stell doch deine Schwierigkeit genauer dar! Was ist deine Definition für Geschwindigkeit? Auch dann, wenn sie nicht konstant ist?
Gruss leduart
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