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| Aufgabe | In einem Hinterzimmer sitzen vier Zigaretten rauchende Kartenspieler. Zigarettenrauch ist ungemein giftig, da er 4 Volumenprozent Kohlenmonoxid (CO) enthält. Die Kartenspieler stoßen insgesamt z Liter Zigarettenrauch pro Minute aus, und dieser vermischt sich augenblicklich mit der Zimmerluft. Die natürliche Luftaustauschrate des Zimmers betrage geanu z Liter pro Minute.
(a) Wie hoch ist die CO-Konzentration c(t) im Zimmer zum Zeitpunkt t, wenn zum Zeitpunkt t = 0 kein CO in der Zimmerluft enthalten war? |
Hallo,
ich würde euch um eine kurze Korrektur obiger Aufgabe bitten, die ich iom folgenden unter Umständen gelöst habe.
zu (a):
Hierbei handelt es sich ja um eine Anfangtswertaufgabe (AWA), wobei die Differentialgleichung noch aufzustellen ist.
Das habe ich nun versucht:
Der CO Konzentration nach der Zeit t im Zimmer entspricht ja praktisch 4% von dem ausgestoßenen Rauch in Abhängigkeit von t.
Also c(t) = 0,04 z t
Diese Konzentration verändert sich aber noch durch den natürlichen Luftaustausch.
Ich suche also den Anteil an Luft der nach der Zeit t nicht ausgetauscht wurde.
Dieser wirkt auf die CO Konzentration proportional.
Also (1 - natürlicher Luftaustausch) c(t) = c'(t) ist meine Differentialgleichung.
Das Zimmervolumen hat die Einheit 1 [mm] m^{3} [/mm] = 1000 l
Der Luftaustausch erfolgt in Litern. Deshalöb teile ich das Zimmervolumen überall durch 1000.
[mm] \Rightarrow [/mm] c'(t) = (1 - [mm] \bruch{tz}{1000V}) [/mm] 0,04 [mm] \bruch{z}{1000} [/mm] t
Hierbei handelt es sich um eine gewöhnliche Differentiallgeichung.
c(t) = [mm] \integral_{a}^{b}{(1 - \bruch{tz}{V}) 0,04 z t dt}
[/mm]
= 0,00002 z [mm] t^{2} [/mm] - [mm] \bruch{0,04}{3000000V}z^{2}t^{3} [/mm] + C
AWA: c(0) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] c = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] c(t) = = 0,00002 z [mm] t^{2} [/mm] - [mm] \bruch{0,04}{3000000V}z^{2}t^{3}
[/mm]
So bin um jede Antwort dankbar.
MFG
Alexander
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Mi 26.09.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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