gewichtete Summe < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:18 Mi 19.09.2007 | | Autor: | holwo |
Hallo,
ich habe diese frage in keinem anderen forum auf anderen internetseiten gestellt.
In Verbindung mit Affinen Kombinationen bin ich sehr oft auf "gewichtete Summe von Punkten" gestossen...
aber was ist das?
leider hab ich im internet nicht so viel über gewichtete summen an sich gefunden.
Kann mir jemand das bitte anschaulich erklären?
Ich hab z.b. das in einem Buch gefunden:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Affine Kombinationen können anschaulich als gewichtete Summen interpretiert werden. Die affine Kombination [mm] \lambda_{1}V1+\lambda_{2}V2 [/mm] der beiden Endpunkte V1,V2 mit [mm] \lambda_{1}=\bruch{Distanz(P,V2)}{Distanz(V1,V2)}
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=\bruch{Distanz(V1,P)}{Distanz(V1,V2)}
[/mm]
beschreibt den punkt P.
Wieso? verstehe ich nicht.. und was hat das mit "gewichtete Summen zu tun"?
Vielen dank!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo jesus_edu!
Gewichtete Summe sollte eigentlich nur so viel bedeuten, als dass jeder Summand mit einem Faktor gewichtet wird. Ich kenne das aus der Theorie der (technischen) neuronalen Netze (bin mir allerdings gerade gar nicht sicher, ob es da auch so heißt...), wo es einen "Gewichtungsfaktor" gibt. Und der kann z. B. für alle Summanden gleich sein, dann wäre das so etwas:
[mm] $\lambda x+\lambda y+\lambda [/mm] z$
(also [mm] \lambda [/mm] wäre der Gewichtungsfaktor)
Das würde hier allerdings nicht allzu viel Sinn machen, weil man stattdessen ja auch einfach schreiben könnte: [mm] \lambda(x+y+z). [/mm] Aber es kann auch sein, dass dieser Faktor für jeden Summand anders ist und z. B. von dem jeweiligen Wert abhängt, also entweder
[mm] $\lambda_1 x+\lambda_2 y+\lambda_3 [/mm] z$
oder
[mm] $\lambda(x)x+\lambda(y)y+\lambda(z)z$
[/mm]
Weiß nicht, ob dir das was hilft...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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> Ich hab z.b. das in einem Buch gefunden:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Affine Kombinationen können anschaulich als gewichtete
> Summen interpretiert werden. Die affine Kombination
> [mm]\lambda_{1}V1+\lambda_{2}V2[/mm] der beiden Endpunkte V1,V2 mit
> [mm]\lambda_{1}=\bruch{Distanz(P,V2)}{Distanz(V1,V2)}[/mm]
> [mm]\lambda_{2}=\bruch{Distanz(V1,P)}{Distanz(V1,V2)}[/mm]
> beschreibt den punkt P.
>
> Wieso? verstehe ich nicht.. und was hat das mit "gewichtete
> Summen zu tun"?
Hallo,
ich will mal mein Glück versuchen mit dem, was da geschrieben steht.
Du hast also Punkte [mm] V_1, V_2 [/mm] und P mit zugehörigen Ortsvektoren [mm] \overrightarrow{OV_1}, \overrightarrow{OV_2}, \overrightarrow{OP}.
[/mm]
Bereits aus der Schule weiß Du: es gibt ein [mm] \lambda \in [/mm] [0,1] mit
[mm] \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OV_1} [/mm] + [mm] \lambda \overrightarrow{V_1V_2}.
[/mm]
Das ist die Stelle, in der Du Deine Anschauung hast.
Es ist [mm] \lambda=\bruch{|\overrightarrow{V_1P}|}{|\overrightarrow{V_1V_2}|}.
[/mm]
Es ist [mm] \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OV_1} [/mm] + [mm] \lambda \overrightarrow{V_1V_2} =\overrightarrow{OV_1} [/mm] + [mm] \lambda (\overrightarrow{V_10}+\overrightarrow{0V_2}) =\overrightarrow{OV_1} [/mm] + [mm] \lambda (-\overrightarrow{0V_1}+\overrightarrow{0V_2})= (1-\lambda)\overrightarrow{OV_1} [/mm] + [mm] \lambda \overrightarrow{0V_2}
[/mm]
In Deinem Buch scheinen die es mit Punkten und Ortsvektoren nicht so genau zu nehmen, sie würden hierfür anscheinend schreiben
P= [mm] (1-\lambda) V_1 [/mm] + [mm] \lambda V_2.
[/mm]
Gewichtung: [mm] V_1 [/mm] und [mm] V_2 [/mm] treten hier mit verschiedenen Vorfaktoren auf und die Summe der Vorfaktoren ist =1! Das ist "Gewichtung".
Nun, wenn Du jetzt für [mm] \lambda [/mm] noch [mm] \bruch{|\overrightarrow{V_1P}|}{|\overrightarrow{V_1V_2}|} [/mm] einsetzt, bist Du da, wo auch das Buch ist:
P= [mm] (1-\bruch{|\overrightarrow{V_1P}|}{|\overrightarrow{V_1V_2}|})V_1 [/mm] + [mm] \bruch{|\overrightarrow{V_1P}|}{|\overrightarrow{V_1V_2}|}V_2= (\bruch{|\overrightarrow{V_1V_2}|-|\overrightarrow{V_1P}|}{|\overrightarrow{V_1V_2}|})V_1 [/mm] + [mm] \bruch{|\overrightarrow{V_1P}|}{|\overrightarrow{V_1V_2}|}V_2=\bruch{|\overrightarrow{V_2P}|}{|\overrightarrow{V_1V_2}|}V_1 [/mm] + [mm] \bruch{|\overrightarrow{V_1P}|}{|\overrightarrow{V_1V_2}|}V_2.
[/mm]
(Eine andere Möglichkeit, wie Du Dir die beiden Gewichte klarmachen kannst, ist mit dem Strahlensatz.
Betrachte das Dreieck [mm] 0V_1V_2, [/mm] zeichne P ein und das Kräfteparallelogramm, mit dem man P erhält. Nun kannst Du mit dem Strahlensatz die Gewichte ausrechnen.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:40 Mi 19.09.2007 | | Autor: | holwo |
vielen dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:18 Mi 19.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
es gibt ein physikalisches Beispiel, das dir vielleicht in deiner Anschauung weiterhilft: die Berechnung des Schwerpunkts.
Wenn du an in deinen Punkten V1 und V2 Massen m1 und m2 liegen hast, liegt der Schwerpunkt auf der Verbindungslinie.
Der Schwerpunkt ist gegeben durch eine Gewichtung [mm]P=\lambda_1 V_1 + \lambda_2 V_2[/mm] mit
[mm] \lambda_1 = \bruch{m_2}{m_1+m_2}, \quad \lambda_2 = \bruch{m_1}{m_1+m_2} [/mm]
Ich frage mich, ob das Wort "gewichtet" nicht sogar von solch einer Anschauung herrührt.
Viele Grüße
Rainer
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