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gewöhnlich Diffgl. 1. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:55 Sa 04.06.2011
Autor: dreamweaver

Aufgabe
Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

$x'+2x=sin(t)$

a) Löse das Anfangswertproblem für $x(0)=1$
b) Wie verhalten sich die Lösungen für $t [mm] \to \infty$? [/mm]
c) Fertige eine Skizze einiger Lösungen in der $(t,x)$-Ebene an.

Hallo,

Bei der Differentialgleichung $x'+2x=sin(t)$ handelt es sich doch um eine gewöhnliche Diffgl. 1. Ordnung oder?

Die Gleichung ist "nicht linear" da ja der sinus nicht linear ist oder?

Wie fang ich so eine Rechnung überhaupt an?

Hab mal folgendes probiert:
$x'+2x=sin(t)$

[mm] $\bruch{dx}{dt}+2x=sin(t)$ $\*dt$ [/mm]

$dx+2xdt=sin(t)dt$

Das hab ich dann noch integriert:
$x+2xt=-cos(t)+c$

Wie berücksichtige ich nun das Anfangswertproblem $x(0)=1$?

Lg


        
Bezug
gewöhnlich Diffgl. 1. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:04 Sa 04.06.2011
Autor: MathePower

Hallo dreamweaver,

> Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
>  
> [mm]x'+2x=sin(t)[/mm]
>  
> a) Löse das Anfangswertproblem für [mm]x(0)=1[/mm]
>  b) Wie verhalten sich die Lösungen für [mm]t \to \infty[/mm]?
>  c)
> Fertige eine Skizze einiger Lösungen in der [mm](t,x)[/mm]-Ebene
> an.
>  Hallo,
>  
> Bei der Differentialgleichung [mm]x'+2x=sin(t)[/mm] handelt es sich
> doch um eine gewöhnliche Diffgl. 1. Ordnung oder?


Ja.


>  
> Die Gleichung ist "nicht linear" da ja der sinus nicht
> linear ist oder?


Nein, die DGL ist linear.


>  
> Wie fang ich so eine Rechnung überhaupt an?
>  
> Hab mal folgendes probiert:
>  [mm]x'+2x=sin(t)[/mm]
>  
> [mm]\bruch{dx}{dt}+2x=sin(t)[/mm] [mm]\*dt[/mm]
>  
> [mm]dx+2xdt=sin(t)dt[/mm]
>  
> Das hab ich dann noch integriert:
>  [mm]x+2xt=-cos(t)+c[/mm]
>  
> Wie berücksichtige ich nun das Anfangswertproblem [mm]x(0)=1[/mm]?


Bestimme zuerst die Lösung der homogenen DGL

[mm]x'+2x=0[/mm]


Dann  kannst Du mit Hilfe der Variation der Konstanten
die partikuläre Lösung der inhomogenen DGL

[mm]x'+2x=sin(t)[/mm]

bestimmen.


>  
> Lg
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
gewöhnlich Diffgl. 1. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:47 Sa 04.06.2011
Autor: dreamweaver

Ich danke dir!



>
> Nein, die DGL ist linear.
>  

Weshalb ist die DGL linear? sin(t) ist doch nicht linear oder betrachte ich nur $x'+2x=0$ ?

> Bestimme zuerst die Lösung der homogenen DGL
>  
> [mm]x'+2x=0[/mm]

Also ich habs folgendermaßen berechnet:

$x'=-2x$
$dx [mm] \bruch{1}{x}=-2dt$ [/mm]
[mm] $ln(x)+c_1=-2t+c_2$ $/-c_1$ [/mm]   und [mm] $-c_1+c_2$ [/mm] zusammengefasst zu $c$
$x = [mm] e^{-2t}+c$ [/mm]

Ich weiß dass, es eigentlich so aussehen sollte:
[mm] $x=ce^{-2t}$ [/mm]

Aber wie kommt das $c$ als Faktor hinzu?

>  
>
> Dann  kannst Du mit Hilfe der Variation der Konstanten
>  die partikuläre Lösung der inhomogenen DGL
>  
> [mm]x'+2x=sin(t)[/mm]
>  
> bestimmen.

Laut meinem Skriptum schaut die allgem. Lösung einer inhomogenen DGL so aus:
$x'+q(t)x=f(t)$

Dann steht weiters:
Die Konstruktion einer Partikulärlösung [mm] $x_p(t)$ [/mm] erfolgt mittels Variation der Konstanten:
Man macht den Ansatz [mm] $x_p(t)=c(t)e^{-Q(t)}$. [/mm]

Einsetzen ergibt:
[mm] $c'(t)e^{-Q(t)} [/mm] - [mm] c(t)e^{-Q(t)}q(t)+c(t)e^{-Q(t)}q(t)=f(t)$ [/mm]

Wie kommt man bitte auf diese Form? Was setzt man wofür ein?

Lg


Bezug
                        
Bezug
gewöhnlich Diffgl. 1. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:15 Sa 04.06.2011
Autor: MathePower

Hallo dreamweaver,

> Ich danke dir!
>  
>
>
> >
> > Nein, die DGL ist linear.
>  >  
>
> Weshalb ist die DGL linear? sin(t) ist doch nicht linear
> oder betrachte ich nur [mm]x'+2x=0[/mm] ?


Betrachtet werden nur die Ableitungen der Funktion
und die Funktion selbst, hier also x' und x.

Da diese nur linear in der DGL vorkommen,
ist diese ebenfalls linear.


>  
> > Bestimme zuerst die Lösung der homogenen DGL
>  >  
> > [mm]x'+2x=0[/mm]
>  
> Also ich habs folgendermaßen berechnet:
>  
> [mm]x'=-2x[/mm]
>  [mm]dx \bruch{1}{x}=-2dt[/mm]
>  [mm]ln(x)+c_1=-2t+c_2[/mm] [mm]/-c_1[/mm]   und
> [mm]-c_1+c_2[/mm] zusammengefasst zu [mm]c[/mm]
>  [mm]x = e^{-2t}+c[/mm]


Hier hast Du die Logarithmengesetze nicht richtig angewandt.

[mm]ln(x)=-2t+c[/mm]

Hieraus folgt;

[mm]e^{ln(x)}=e^{-2t+c}=e^{-2*t}*e^{c}[/mm]

Definieren wir [mm]k:=e^{c}[/mm], so ergibt sich:

[mm]x=k*e^{-2*t}[/mm]


>  
> Ich weiß dass, es eigentlich so aussehen sollte:
>  [mm]x=ce^{-2t}[/mm]
>  
> Aber wie kommt das [mm]c[/mm] als Faktor hinzu?
>  


> >  

> >
> > Dann  kannst Du mit Hilfe der Variation der Konstanten
>  >  die partikuläre Lösung der inhomogenen DGL
>  >  
> > [mm]x'+2x=sin(t)[/mm]
>  >  
> > bestimmen.
>  
> Laut meinem Skriptum schaut die allgem. Lösung einer
> inhomogenen DGL so aus:
>  [mm]x'+q(t)x=f(t)[/mm]
>  
> Dann steht weiters:
>  Die Konstruktion einer Partikulärlösung [mm]x_p(t)[/mm] erfolgt
> mittels Variation der Konstanten:
>  Man macht den Ansatz [mm]x_p(t)=c(t)e^{-Q(t)}[/mm].
>  
> Einsetzen ergibt:
>  [mm]c'(t)e^{-Q(t)} - c(t)e^{-Q(t)}q(t)+c(t)e^{-Q(t)}q(t)=f(t)[/mm]
>  
> Wie kommt man bitte auf diese Form? Was setzt man wofür
> ein?
>  


Q(t) ist hier: [mm]Q(t)=\integral_{}^{}{ q(t) \ dt}[/mm]

f(t) ist hier der rechte Teil der gegebenen DGL.


> Lg
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
gewöhnlich Diffgl. 1. Ordnung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:24 So 05.06.2011
Autor: dreamweaver

EDIT: Hat sich erledigt danke!

Danke,
nun hab ich folgendes stehn:

[mm] $c(t)=\integral{e^{2t}sin(t) dt}$ [/mm]

Jetzt einfach partiell integrieren?

Nach dem ersten Schritt kommt folgendes raus:


[mm] $\bruch{1}{2} e^{2t} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}\integral{e^{2t}cos(t) dt}$ [/mm]

Auf das nun vorhandene Integral muss ich jetzt wieder die partielle Integration anwenden. Doch weder die e Funktion noch cos bzw sin wird sich je aus dem Integral herausheben oder?
Wie rechen ich sowas?
Lg

EDIT: Hat sich erledigt danke!

Bezug
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