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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Do 15.01.2009 | | Autor: | x61 |
| Aufgabe | Löse das Anfangswertproblem:
a, y'= [mm] x^2-y [/mm] y(-3)=5
b, y'y = [mm] 2*e^{2x}\, [/mm] y(0)=2 |
Zu a,
ich hatte zuerst so angefangen:
Die Variablen getrennt : dy = [mm] -x^2 [/mm] dx ->
Integrieren: y= [mm] -\bruch{1}{3}x^3
[/mm]
Und dann halt einsetzten....
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Aber jetzt kommt mir die Frage ob ich hier nicht durch Substitution integrieren muss
und wie sieht es bei b, aus ???
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Hallo x61,
> Löse das Anfangswertproblem:
>
> a, y'= [mm]x^2-y[/mm] y(-3)=5
> b, y'y = [mm]2*e^{2x}\,[/mm] y(0)=2
> Zu a,
>
> ich hatte zuerst so angefangen:
>
> Die Variablen getrennt : dy = [mm]-x^2[/mm] dx ->
>
> Integrieren: y= [mm]-\bruch{1}{3}x^3[/mm]
>
> Und dann halt einsetzten....
Du mußt hier zuerst die homogene DGL lösen:
[mm]y'+y=0[/mm]
Dann wendest Du die Methode der ![[]](/images/popup.gif) Variation der Konstanten
auf die inhomogene DGL an:
[mm]y'+y=x^{2}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Aber jetzt kommt mir die Frage ob ich hier nicht durch
> Substitution integrieren muss
>
> und wie sieht es bei b, aus ???
>
>
Da kannst Du gleich integrieren.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Do 15.01.2009 | | Autor: | x61 |
Ich glaube mein Problem ist einfach, daß ich nicht weis warum ich hier nicht "normal" vorgehen kann. Also Trennung der Variablen -> integrieren ...
bei [mm] y'(1-x^2)=xy [/mm] kann ich das doch auch machen.
Und wann muss ich mit der Substitution arbeiten und wann mit der VAriation der Konstanten.
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Hallo x61,
> Ich glaube mein Problem ist einfach, daß ich nicht weis
> warum ich hier nicht "normal" vorgehen kann. Also
> Trennung der Variablen -> integrieren ...
> bei [mm]y'(1-x^2)=xy[/mm] kann ich das doch auch machen.
> Und wann muss ich mit der Substitution arbeiten und wann
> mit der VAriation der Konstanten.
>
>
Nun, die Variation der Konstanten wendest Du auf eine
inhomogene DGL (hier: DGL 1. Ordnung) an.
Substitutionen werden gegebenfalls erst bei der Integration verwendet.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Do 15.01.2009 | | Autor: | x61 |
| Aufgabe | Ok , aber bei meinem genannten beispiel [mm] y'(1-x^2)=xy [/mm] muss ich mit der "Variation der konstanten" arbeiten , obwohl die gleichung doch inhomogen ist. oder irre ich mich hier.
und wie ist es bei b? da muss ich dann genauso vorgehen?
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Ok , aber bei meinem genannten beispiel [mm] y'(1-x^2)=xy [/mm] muss ich mit der "Variation der konstanten" arbeiten , obwohl die gleichung doch inhomogen ist. oder irre ich mich hier.
und wie ist es bei b? da muss ich dann genauso vorgehen?
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Hallo x61,
> Ok , aber bei meinem genannten beispiel [mm]y'(1-x^2)=xy[/mm] muss
> ich mit der "Variation der konstanten" arbeiten , obwohl
> die gleichung doch inhomogen ist. oder irre ich mich hier.
>
> und wie ist es bei b? da muss ich dann genauso vorgehen?
>
> Ok , aber bei meinem genannten beispiel [mm]y'(1-x^2)=xy[/mm] muss
> ich mit der "Variation der konstanten" arbeiten , obwohl
> die gleichung doch inhomogen ist. oder irre ich mich hier.
Hier arbeitest mit der Methode der Trennung der
Veränderlichen.
>
> und wie ist es bei b? da muss ich dann genauso vorgehen?
>
Hier sind ja schon die Veränderlichen getrennt,
so daß Du direkt auf beiden Seiten die Integration durchführen kannst.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Do 15.01.2009 | | Autor: | x61 |
Ok , also würde das bei a dann so aussehen:
[mm] \bruch{dy}{dx}+y=0 [/mm]
.
.
.
lny =x +lnC
[mm] y=c*e^x
[/mm]
[mm] y_0=Ke^x [/mm] -> y= [mm] k(x)e^x
[/mm]
y'= [mm] k'(x)e^x+ K(x)e^x
[/mm]
[mm] y'+y=k'(x)e^x+ K(x)e^x+ k(x)e^x=x^2
[/mm]
Kann das sein? sieht irgendwie komisch aus
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Hallo x61,
> Ok , also würde das bei a dann so aussehen:
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}+y=0[/mm]
> .
> .
> .
> lny =x +lnC
> [mm]y=c*e^x[/mm]
Die Lösung der homogenen DGL ist [mm]y=e^{\red{-}x}[/mm]
>
> [mm]y_0=Ke^x[/mm] -> y= [mm]k(x)e^x[/mm]
>
> y'= [mm]k'(x)e^x+ K(x)e^x[/mm]
>
> [mm]y'+y=k'(x)e^x+ K(x)e^x+ k(x)e^x=x^2[/mm]
>
> Kann das sein? sieht irgendwie komisch aus
>
Da hast Du Dich vertan (siehe oben).
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Do 15.01.2009 | | Autor: | x61 |
Warum $ [mm] y=e^{\red{-}x} [/mm] $ , kann ich nicht nachvollziehen, ausserdem fehlt noch die Konstante C
Aber ok , wenn ich es dann so durchrechne sieht es dann folgendermaßen aus :
y'-y= [mm] K(x)(sinh(x)-cosh(x)+k'(x)e^x-k(x)e^{{-}x}=-x^2
[/mm]
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Hallo!
[mm] e^{-x} [/mm] wegen:
$y'+y = 0$
[mm] $\gdw [/mm] y' = -y$
[mm] $\gdw \bruch{1}{y}dy [/mm] = [mm] \red{-}1 [/mm] dx$
Grüße,
Stefam.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 Do 15.01.2009 | | Autor: | x61 |
Danke , hab es mittlerweile auch gesehen :)
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Hallo x61,
> Warum [mm]y=e^{\red{-}x}[/mm] , kann ich nicht nachvollziehen,
> ausserdem fehlt noch die Konstante C
>
> Aber ok , wenn ich es dann so durchrechne sieht es dann
> folgendermaßen aus :
>
> y'-y= [mm]K(x)(sinh(x)-cosh(x)+k'(x)e^x-k(x)e^{{-}x}=-x^2[/mm]
Die DGL ist schon dieselbe:
[mm]y'+y=0[/mm]
[mm]\bruch{dy}{dx}=-y[/mm]
[mm]\Righarrow \bruch{1}{y} \ dy = -dx[/mm]
[mm]\Rightarrow \ln\left(y\right)=-x+k[/mm]
[mm]\Rightarrow y=\tilde{k}*e^{-x}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Do 15.01.2009 | | Autor: | x61 |
Könnte es sein, das diese DFG nicht durch die VAriation der Konstanten gelöst wird, weil sie nicht die dafür benötigte Form, y'+f(x)*y=g(x), hat
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Hallo x61,
> Könnte es sein, das diese DFG nicht durch die VAriation der
> Konstanten gelöst wird, weil sie nicht die dafür benötigte
> Form, y'+f(x)*y=g(x), hat
Nein, das kann nicht sein.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 Do 15.01.2009 | | Autor: | x61 |
Ok , ich komm nicht weiter.
Aber danke Mathepower
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