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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Sa 13.09.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag alle zusammen!
Ich habe hier einen Satz und auch eine Bemerkung zum Thema ggT.
Bei dem Satz kann ich eine Richtung des Beweises leider nicht nachvollziehen und bei der Bemerkung verstehe ich leider nicht den Zusammenhang.
Satz :
Seien R ein kommutativer Rang, [mm] a,b \in [/mm] R, nicht beider gleich 0.
1. Ist d ein ggT (a,b) und [mm] \epsilon \in [/mm] R*, dann ist [mm] \epsilon \cdot d [/mm] auch ein ggT (a,b )
2. Sind [mm] d_1, d_2 [/mm] zwei ggT (a,b), dann gibt es ein [mm] \epsilon \in [/mm] R* mit [mm] d_2 = \epsilon \cdot d_1 [/mm].
( R* ist die Einheitsgruppe; R* = [mm] \{ \epsilon \in R \ | \ \epsilon \ \ ist \ \ Einheit \} [/mm] )
Beweis :
1. Klar
Warum ist das klar?
2.
[mm] d_1 | a , \ d_1 | b \Rightarrow d_1 | d_2 [/mm]
[mm] d_2 | a , \ d_2 | b \Rightarrow d_2 | d_1 [/mm]
[mm] \Rightarrow d_2 = d_1 \cdot r , d_1 = d_2 \cdot s, [/mm] mit [mm] r,s \in R [/mm].
[mm] \Rightarrow d_2 = d_2 \cdot r \cdot s \Rightarrow d_2 ( 1 - rs ) = 0 [/mm]
[mm] \Rightarrow 1 - rs = 0 \Rightarrow r, s \in [/mm] R* .
Bemerkung :
Ist R ein Integritätsring, [mm] a,b \in R [/mm], dann sind äquivalent:
1. aR = bR
2. Es gibt ein [mm] \epsilon \in [/mm] R* mit [mm] b = \epsilon \cdot a [/mm]
Ich verstehe hier leider nicht die Äquivalenz. Sehe irgendwie nicht den Zusammenhang zwischen dem von a und b erzeugten Ideal und diesem Epsilon :-(
Ich hoffe, dass mir jemand behilflich sein kann!
VIelen Dank im Voraus!
Viele Grüße
Irmchen
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> Guten Tag alle zusammen!
>
> Ich habe hier einen Satz und auch eine Bemerkung zum Thema
> ggT.
> Bei dem Satz kann ich eine Richtung des Beweises leider
> nicht nachvollziehen und bei der Bemerkung verstehe ich
> leider nicht den Zusammenhang.
>
> Satz :
>
> Seien R ein kommutativer Rang, [mm]a,b \in[/mm] R, nicht beider
> gleich 0.
> 1. Ist d ein ggT (a,b) und [mm]\epsilon \in [/mm] R*, dann ist
> [mm]\epsilon \cdot d[/mm] auch ein ggT (a,b )
>
> 2. Sind [mm]d_1, d_2[/mm] zwei ggT (a,b), dann gibt es ein [mm]\epsilon \in[/mm]
> R* mit [mm]d_2 = \epsilon \cdot d_1 [/mm].
>
> ( R* ist die Einheitsgruppe; R* = [mm]\{ \epsilon \in R \ | \ \epsilon \ \ ist \ \ Einheit \}[/mm]
> )
>
> Beweis :
>
> 1. Klar
>
> Warum ist das klar?
Weise einfach die Eigenschaften eines ggT nach:
Ich mache das mal nur für a vor: d|a, also existiert ein [mm] $x\in [/mm] R$ mit $a=xd$. Wir müssen zeigen: $de|a$. Sei nun [mm] $f\in [/mm] R$ genau das Element, für das $ef=1$ gilt (Def. Einheit). Dann ist $(xf)de=xd(ef)=xd=a$, also $de|a$. Der Rest geht sehr ähnlich.
Siehe dazu, was Multiplikation mit Einheiten angeht, auch unten, ich hab die Frage falschrum beantwortet 
> 2.
>
> [mm]d_1 | a , \ d_1 | b \Rightarrow d_1 | d_2[/mm]
>
> [mm]d_2 | a , \ d_2 | b \Rightarrow d_2 | d_1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow d_2 = d_1 \cdot r , d_1 = d_2 \cdot s,[/mm] mit [mm]r,s \in R [/mm].
>
> [mm]\Rightarrow d_2 = d_2 \cdot r \cdot s \Rightarrow d_2 ( 1 - rs ) = 0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 1 - rs = 0 \Rightarrow r, s \in[/mm] R* .
>
>
> Bemerkung :
>
> Ist R ein Integritätsring, [mm]a,b \in R [/mm], dann sind
> äquivalent:
> 1. aR = bR
> 2. Es gibt ein [mm]\epsilon \in[/mm] R* mit [mm]b = \epsilon \cdot a [/mm]
>
> Ich verstehe hier leider nicht die Äquivalenz. Sehe
> irgendwie nicht den Zusammenhang zwischen dem von a und b
> erzeugten Ideal und diesem Epsilon :-(
Ihr habt sicher gehabt: [mm] $\mathfrak a\subseteq\mathfrak b\Leftrightarrow [/mm] b|a$. (Grob gesagt: das "kleinere Element erzeugt das größere Ideal").
In deiner Bemerkung ist aR=bR, also gilt sowohl a|b als auch b|a.
a|b, also existiert ein [mm] $c\in [/mm] R$, so dass $ca=b$. Aus b|a folgt analog, dass es ein [mm] $d\in [/mm] R$ gibt db=a. Setzen wir das mal für a ein, folgt cdb=b. Mit der Kürzungsregel muss also cd=1 sein, also [mm] $c,d\in R^\times$.
[/mm]
Eine Zahl mit einer Einheit multiplizieren bedeutet, sie "nicht wirklich zu verändern". Die andere Richtung kannst du ja mal selbst probieren
> Ich hoffe, dass mir jemand behilflich sein kann!
>
> VIelen Dank im Voraus!
>
> Viele Grüße
> Irmchen
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