ggT Beweis < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Di 09.11.2010 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | | Seien [mm] a,b,c\in\IZ. [/mm] Beweisen Sie: ggT(a,b)=ggT(b,a) |
Darf man es so machen?:
Sei ggT(a,b)=d mit [mm] d\in\IN, [/mm] dann ist [mm] d\in [/mm] T(a) [mm] \cap [/mm] T(b) => d|a [mm] \wedge [/mm] d|b => d|b [mm] \wedge [/mm] d|a (KG) => [mm] d\in [/mm] T(b) [mm] \cap [/mm] T(a) => ggT(b,a)=d
Richtiger Ansatz, oder muss ich anders beginnen?
Viele Danl für eure Hilfe,...
Liebe Grüße, Ferolei
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Hallo Ferolei,
sieht an sich gut aus. Nur: was ist (KG)?
Und reicht nicht eigentlich, dass [mm] \cap [/mm] kommutativ ist?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Ferolei |
> Hallo Ferolei,
>
> sieht an sich gut aus. Nur: was ist (KG)?
KG ist unsere Abkürzung für Kommutativgesetz. Damit wäre die Frage darunter beantwortet, oder?
> Und reicht nicht eigentlich, dass [mm]\cap[/mm] kommutativ ist?
>
> Grüße
> reverend
>
Also darf man das so machen???
Viele Grüße
Ferolei
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Mi 10.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn ggT(a,b) genauso definiert ist:$ [mm] ggT(a,b)\in [/mm] $ T(a) $ [mm] \cap [/mm] $ T(b)
aber wenn ggT(ab)=p*q dann ist [mm] p\in [/mm] $ T(a) $ [mm] \cap [/mm] $ T(b) und
[mm] q\in [/mm] $ T(a) $ [mm] \cap [/mm] $ T(b) und ebenso pq.
dass etwas [mm] \in [/mm] $ T(a) $ [mm] \cap [/mm] $ T(b) ist heisst doch noch nicht es ist ggT?
das gilt für alle gT(a,b) nicht nur für den grössten.
deshalb stimm ich reverend zwar zu, dass das gut aussieht![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]") aber es ist nur ein Anfang.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:12 Do 11.11.2010 | | Autor: | Ferolei |
> Hallo
> wenn ggT(a,b) genauso definiert ist:[mm] ggT(a,b)\in[/mm] T(a) [mm]\cap[/mm]
> T(b)
> aber wenn ggT(ab)=p*q dann ist [mm]p\in[/mm] $ T(a) $ [mm]\cap[/mm] $ T(b)
> und
> [mm]q\in[/mm] $ T(a) $ [mm]\cap[/mm] $ T(b) und ebenso pq.
> dass etwas [mm]\in[/mm] $ T(a) $ [mm]\cap[/mm] $ T(b) ist heisst doch noch
> nicht es ist ggT?
> das gilt für alle gT(a,b) nicht nur für den grössten.
> deshalb stimm ich reverend zwar zu, dass das gut
> aussieht aber es ist nur ein Anfang.
> Gruss leduart
>
>
>
Hallo, danke für die Rückmeldung. Vielleicht kann ich das mit Hilfe der Definition: ggT(a,b)=max(T(a) [mm] \cap [/mm] T(b)) schreiben?
Also ggT(a,b)=d=max(T(a) [mm] \cap [/mm] T(b)) [mm] \Rightarrow d\in [/mm] T(a) [mm] \cap [/mm] T(b) [mm] \Rightarrow [/mm] d|a [mm] \wedge [/mm] d|b [mm] \Rightarrow [/mm] d|b und d|a [mm] \Rightarrow [/mm] d [mm] \in [/mm] T(b) [mm] \cap [/mm] T(a) [mm] \Rightarrow [/mm] d=max(T(b) [mm] \cap [/mm] T(a)) [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(a,b)=ggT(b,a)
Oder darf ich direkt schließen:
ggT(a,b)=d=max(T(a) [mm] \cap [/mm] T(b)) [mm] \Rightarrow [/mm] max(T(b) [mm] \cap [/mm] T(a))=d=ggT(b,a)
Muss ich die Teilbarkeit mir reinbringen?
Viele Grüße
Ferolei
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Hallo nochmal,
> Hallo, danke für die Rückmeldung. Vielleicht kann ich das
> mit Hilfe der Definition: ggT(a,b)=max(T(a) [mm]\cap[/mm] T(b))
> schreiben?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Also ggT(a,b)=d=max(T(a) [mm]\cap[/mm] T(b)) [mm]\Rightarrow d\in[/mm] T(a)
> [mm]\cap[/mm] T(b) [mm]\Rightarrow[/mm] d|a [mm]\wedge[/mm] d|b [mm]\Rightarrow[/mm] d|b und
> d|a [mm]\Rightarrow[/mm] d [mm]\in[/mm] T(b) [mm]\cap[/mm] T(a) [mm]\Rightarrow[/mm]
> d=max(T(b) [mm]\cap[/mm] T(a)) [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,b)=ggT(b,a)
So ist es ok.
> Oder darf ich direkt schließen:
> ggT(a,b)=d=max(T(a) [mm]\cap[/mm] T(b)) [mm]\Rightarrow[/mm] max(T(b) [mm]\cap[/mm]
> T(a))=d=ggT(b,a)
Das ist auch ok. Wahrscheinlich wird aber der längere Weg gewünscht, nehme ich an. In jedem Fall geht es über die Kommutativität des Schnitts.
> Muss ich die Teilbarkeit mir reinbringen?
Nein.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Do 11.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
habt ihr den ggT wirklich so definiert?
wie ist das max einer Menge definiert?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Do 11.11.2010 | | Autor: | Ferolei |
Wir haben den ggT leider garnicht definiert. Haben nur 'in Worten' aufgeschrieben, dass der ggT das größte Element der Schnittmenge zweier Teilermengen ist. Mehr nicht. Daher weiß ich auch irgendwie garnicht, wie ich den Beweis angehen soll.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Ferolei |
Darf man es nicht einfach so machen ?
ggT(a,b)=max(T(a) [mm] \cap [/mm] T(b))
=max(T(b) [mm] \cap [/mm] T(a)) =ggT(b,a)
????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:17 So 14.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Darf man es nicht einfach so machen ?
>
> ggT(a,b)=max(T(a) [mm]\cap[/mm] T(b))
> =max(T(b) [mm]\cap[/mm] T(a)) =ggT(b,a)
Da ihr den ggT offenbar so definiert habt: ja.
LG Felix
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