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| Aufgabe | $a,b [mm] \in \IZ$, [/mm] $b [mm] \not= [/mm] 0$
$a = q [mm] \cdot [/mm] b + r$
Es gilt: $d | a$ und $d | b$ [mm] $\gdw$ [/mm] $d | b$ und $d | r$ |
Hallo zusammen,
obiges stand in meiner Vorlesung an der Tafel. Ich wollte mich nur schnell absichern, ob meine Herleitung dafür richig ist:
$d | a$ und $d | b$
[mm] $\Rightarrow \exists \; c_1, c_2 \in \IZ [/mm] : [mm] c_1 \cdot [/mm] d = q [mm] \cdot c_2 \cdot [/mm] d + r$, wobei $a := [mm] c_1 \dot [/mm] d, [mm] \quad [/mm] b := [mm] c_2 \cdot [/mm] d$
[mm] $\gdw c_1 \cdot [/mm] d - q [mm] \cdot c_2 \cdot [/mm] d = r$
[mm] $\gdw [/mm] d [mm] \cdot (c_1 [/mm] - q [mm] \cdot c_2) [/mm] = r$
Mit [mm] $c_1 [/mm] - q [mm] \cdot c_2 [/mm] :=c [mm] \in \IZ$ [/mm] folgt: $r = d [mm] \cdot [/mm] c$, d.h. r ist ein Vielfaches von d und somit teilt d auch r.
Ist das so richtig gedacht?
LG fagottator
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> [mm]a,b \in \IZ[/mm], [mm]b \not= 0[/mm]
> [mm]a = q \cdot b + r[/mm]
> Es gilt: [mm]d | a[/mm]
> und [mm]d | b[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]d | b[/mm] und [mm]d | r[/mm]
> Hallo zusammen,
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> obiges stand in meiner Vorlesung an der Tafel. Ich wollte
> mich nur schnell absichern, ob meine Herleitung dafür
> richig ist:
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> [mm]d | a[/mm] und [mm]d | b[/mm]
> [mm]\Rightarrow \exists \; c_1, c_2 \in \IZ : c_1 \cdot d = q \cdot c_2 \cdot d + r[/mm],
> wobei [mm]a := c_1 \dot d, \quad b := c_2 \cdot d[/mm]
> [mm]\gdw c_1 \cdot d - q \cdot c_2 \cdot d = r[/mm]
>
> [mm]\gdw d \cdot (c_1 - q \cdot c_2) = r[/mm]
> Mit [mm]c_1 - q \cdot c_2 =\red{:}c \in \IZ[/mm]
> folgt: [mm]r = d \cdot c[/mm], d.h. r ist ein Vielfaches von d und
> somit teilt d auch r.
>
> Ist das so richtig gedacht?
>
> LG fagottator
Ja, das sieht gut aus.
Nur eine ganz kleine Kleinigkeit: Bei := kommt der Doppelpunkt immer auf die Seite des Ausdrucks, der definiert wird (siehe rote Markierung).
Davon abgesehen ist inhaltlich aber alles in Ordnung.
lg
Schadow
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