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Forum "Diskrete Mathematik" - ggT, teilerfremd
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ggT, teilerfremd: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:56 Fr 20.03.2009
Autor: DyingSoul

Hi,

ich bin in einem Skript auf eine Aussage ohne Beweis gestoßen, die anscheinend ein grundlegendes Ergebnis der diskreten Mathematik ist. Mir ist allerdings nicht klar warum das so gilt:

Für [mm] x,y \in \IN [/mm] mit [mm] ggT(x,y)=1 [/mm] existiert ein [mm] t_0 \in \IN [/mm] so dass für jedes [mm] t \ge t_0 [/mm] zwei Zahlen [mm] a,b \in \IN [/mm] existieren, so dass  [mm] t = ax+by [/mm].

Weiß jemand wieso das das gilt?

Danke und Gruß



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
ggT, teilerfremd: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:08 Fr 20.03.2009
Autor: abakus


> Hi,
>  
> ich bin in einem Skript auf eine Aussage ohne Beweis
> gestoßen, die anscheinend ein grundlegendes Ergebnis der
> diskreten Mathematik ist. Mir ist allerdings nicht klar
> warum das so gilt:
>  
> Für [mm]x,y \in \IN [/mm] mit [mm]ggT(x,y)=1[/mm] existiert ein [mm]t_0 \in \IN [/mm]
> so dass für jedes [mm]t \ge t_0[/mm] zwei Zahlen [mm]a,b \in \IN [/mm]
> existieren, so dass  [mm]t = ax+by [/mm].
>  
> Weiß jemand wieso das das gilt?

Ja.
Gruß Abakus


Spaß beiseite. Ohne die Einschränkung "natürliche Zahlen" kann man das [mm]t \ge t_0[/mm] weglassen, denn für teilerfremde ganze Zahlen x, y ist jede Zahl t darstellbar.
Nimm dir mal als Beispiel x=3, y=5.
Die Zahlen
1*3+1*5=8
1*3+2*5=13 und
1*3+3*5=18 lassen bei Teilung durch 3 die Reste 2, 1 bzw. 0.
Wenn ich jetzt zu 1*3+1*5=8 ein beliebige ganzzahlige Vielfache von 3 addiere, erhalte ich ALLE ganzen Zahlen der Form 3k+2.
Wenn ich zu 1*3+2*5=3 ein beliebige ganzzahlige Vielfache von 3 addiere, erhalte ich ALLE ganzen Zahlen der Form 3k+1.
Wenn ich zu 1*3+5*5=18 ein beliebige ganzzahlige Vielfache von 3 addiere, erhalte ich ALLE ganzen Zahlen der Form 3k.
So kann ich alle ganzen Zahlen in der Form a*3 + b*5 darstellen.

Wenn nun negative Summanden nicht zugelassen sind, gibt es am Anfang ein paar Lücken.
Möglich sind (falls die 1 als kleinste natürliche Zahl gilt)
3, 8, 13, 18, 23,...
5, 10, 15, 20,...
3+3=6, 11, 16, 21,
3+3+3=9, 14, 19, ...

Mit den Zahlen 8, 9 und 10 hat man erstmals 3 aufeinanderfolgende Zahlen, dann kann man durch Addition von 3 auch alle weiteren nat. Zahlen erzeugen. Ab [mm] t_0=8 [/mm] wären also in diesem Beispiel alle nat. Zahlen als Summe von  Vielfachen von 3 und 5 darstellbar.
Gruß Abakus


>  
> Danke und Gruß
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  


Bezug
                
Bezug
ggT, teilerfremd: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:18 Fr 20.03.2009
Autor: DyingSoul

Ok, ist einleuchtend, danke dir!!

Gruß

Bezug
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