ggT und Linearkombination < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Catman |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die folgenden größten gemeinsamen Teiler und stellen Sie sie jeweils als Linearkombination dar:
(b) ggT(n, 2n-1) n [mm] \in [/mm] N
(c) ggT(2n-1, [mm] 2n^2 [/mm] -1) n [mm] \in [/mm] N |
Also die Teilaufgabe (b) konnte ich glaube ich richtig lösen, aber bei der (c) komme ich gar nicht weiter.
Hier mein Ansatz:
(b)
2n-1=n*1 + (n-1)
n= (n-1) *1 + 1
n-1=1*(n-1) + 0
Also ist der ggT = 1 und die Linearkombination 1=2n-(2n-1) ???
Bei (c)
[mm] 2n^2-1=2n-1 [/mm] * ? + ? Also ich weiß hier nicht wie ich mit dem Euklidischen Algorithmus weiter kommen kann.
Gruß
Andy
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> Bestimmen Sie die folgenden größten gemeinsamen Teiler
> und stellen Sie sie jeweils als Linearkombination dar:
> (b) ggT(n, 2n-1) n [mm]\in[/mm] N
> (c) ggT(2n-1, [mm]2n^2[/mm] -1) n [mm]\in[/mm] N
> Also die Teilaufgabe (b) konnte ich glaube ich richtig
> lösen, aber bei der (c) komme ich gar nicht weiter.
>
> Hier mein Ansatz:
>
> (b)
> 2n-1=n*1 + (n-1)
> n= (n-1) *1 + 1
> n-1=1*(n-1) + 0
>
> Also ist der ggT = 1 und die Linearkombination 1=2n-(2n-1)
Also ist der ggT = 1 und die EINE Linearkombination 1=2n-(2n-1)
> ???
>
> Bei (c)
>
> [mm]2n^2-1=2n-1[/mm] * ? + ? Also ich weiß hier nicht wie ich mit
> dem Euklidischen Algorithmus weiter kommen kann.
Vielleicht geht es besser folgendes zu betrachten
[mm](2n^2+0n-1)=(2n-1)*q+r[/mm]
Das ist ganz normale Polynomdivision.
Auch hier sind die Polynome [mm] $2n-1,2n^2-1$ [/mm] teilerfremd.
>
> Gruß
>
> Andy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Catman |
Also das mit der Polynomdivision bringt mich nicht wirklich weiter, aber ich habe jetzt was weiter gerechnet und komme zu einem Ergebnis, was aber nicht richtig ist, wenn man Zahlen einsetzt. Kann mir jemand erklären, was ich falsch gemacht habe?
[mm] ggT(2n-1,2n^2-1) [/mm] n [mm] \in [/mm] N
[mm] 2n^2-1=(2n-1)*n [/mm] + (n-1)
2n-1= (n-1)*2 +1
n-1=1*(n-1) + 0
Also ist der ggT = 1
für n=1 steht da 0 und 0, da weiß ich nicht genau was ich für diesen Fall schreiben müsste.
und dann müsste doch die Linearkombination wie folgt aussehen:
[mm] 1=(2n-1)-(n-1)*2=(2n-1)-((2n^2-1)-(2n-1)*n)*2=2n(2n-1)-2(2n^2-1)
[/mm]
Aber wenn ich das jetzt mit konkreten Zahlen überprüfe stimmt es nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Di 22.11.2011 | | Autor: | Catman |
Aber dann steht da ja [mm] 2n^2 [/mm] + n und das ist doch keine kombination mehr aus den beiden ausgangszahlen??
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[mm]ggT(\red{2n^2-1},\blue{2n-1})=1[/mm]
da hast du dich verrechnet.
Eine Möglichkeit wäre
[mm](-2)\red{(2n^2-1)}+(1+2n)\blue{(2n-1)}=1[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Di 22.11.2011 | | Autor: | Catman |
> [mm]ggT(\red{2n^2-1},\blue{2n-1})=1[/mm]
>
> da hast du dich verrechnet.
> Eine Möglichkeit wäre
> [mm](-2)\red{(2n^2-1)}+(1+2n)\blue{(2n-1)}=1[/mm]
>
>
>
Danke, aber ich komme selbst nicht auf diese Lösung. Könntest du vielleicht den weg dorthin von da ab wo ich falsch zusammengefasst habe aufschreiben?
Also von [mm] (2n-1)-(2n^2-1-2n^2+n)*2 [/mm] ?
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Hallo Catman,
mir geht Deine Rückrechnung zu schnell.
Schreib doch mal alle drei Zwischenschritte nach dem ![[]](/images/popup.gif) erweiterten euklidischen Algorithmus auf, damit man Deinen Fehler überhaupt finden kann.
Wie das richtige Ergebnis aussieht, weißt Du ja jetzt schon, aber Du willst ja noch wissen, wie man es selbst herausbekommt.
Also: vormachen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 Di 22.11.2011 | | Autor: | Catman |
Vielen Dank für die Antwort. Bin selbst draufgekommen. Ich schreibs trotzdem mal hin, falls es irgendwen interessieren sollte.
Also hatte dann
[mm] 1=(2n-1)-(n-1)*2=(2n-1)-((2n^2-1)-(2n-1)*n)*2=
[/mm]
[mm] (2n-1)-[2(2n^2-1)-2*n*(2n-1)]= [/mm] (-2) [mm] (2n^2-1)+(2n+1)(2n-1)
[/mm]
Fehler war: Ich hatte 2n(2n-1) und (2n-1) als 3n(2n-1) zusammengefasst. Habs aber jetzt verstanden.
Gruß
Andy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Di 22.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Catman,
das sieht doch gut aus.
> Vielen Dank für die Antwort. Bin selbst draufgekommen. Ich
> schreibs trotzdem mal hin, falls es irgendwen interessieren
> sollte.
>
> Also hatte dann
>
> [mm]1=(2n-1)-(n-1)*2=(2n-1)-((2n^2-1)-(2n-1)*n)*2=[/mm]
> [mm](2n-1)-[2(2n^2-1)-2*n*(2n-1)]=[/mm] (-2) [mm](2n^2-1)+(2n+1)(2n-1)[/mm]
>
> Fehler war: Ich hatte 2n(2n-1) und (2n-1) als 3n(2n-1)
> zusammengefasst.
Kann ja in der Eile des Gefechts mal passieren.
> Habs aber jetzt verstanden.
Das ist die Hauptsache!
Grüße
reverend
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