ggT und kgV < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Sa 07.04.2007 | | Autor: | MePa |
| Aufgabe | a)Für zwei natürliche Zahlen a,b gilt ggT(a,b)=10 und kgV(a,b)=600. Ermittle die beiden Zahlen, es gibt mehrere solcher Zahlenpaare.
b)Gegeben sind ggT und kgV für zwei unbekannte natürliche Zahlen a und b. Finde eine Regel, mit der man die Anzahl aller möglichen Zahlenpaare für die gegebenen ggT und kgV bestimmen kann. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich habe für das Beispiel ggT(a,b)= 10 und kgV(a,b)=600 drei -vom ggT und kgV verschieden- Zahlenpaare gefunden, die die Bedingungen erfüllen.
Dann habe ich weitere Beispiele gesucht und versucht eine Regel zu finden.
Es ist ja klar, dass [mm] ggT(a,b)\*kgV(a,b)= a\*b
[/mm]
Der ggT muss in beiden Zahlen a und b vorhanden sein, außerdem müssen alle weiteren Primfaktoren auf die beiden Zahlen "verteilt" sein, um das jeweilige kgV zu erhalten.
Bei der Suche nach einer Regel habe ich versucht diverse Unterschiede der einzelen Beispiele herauszuarbeiten, allerdings keine ausschlaggebende Gemeinsamkeit gefunden.
Wer kennt die Regel oder kann mir entsprechende Hinweise geben?
Danke, Mepa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Sa 07.04.2007 | | Autor: | wauwau |
Mitteilung ist doch die Lösung
Primfaktorenzerlegung von [mm] \bruch{kgV}{ggT} [/mm] Anzahl verschiedener Primfaktoren sei k
Dann ist die Anzahl der Möglichkeiten [mm] 2^{k-1} [/mm] -1 deshalb, da die a,b die gleiche Lösung wie b,a ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 Di 10.04.2007 | | Autor: | MePa |
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich dich richtig verstehe.
Ich versuche es an einem weiteren Beispiel:
ggT (a,b) = 6 = 2*3
kgV (a,b) = 4620 = [mm] 2^{2}*3*5*7*11
[/mm]
a*b= 27720, d.h. alle a,b teilen 27720
Wenn ich dich richtig verstehe, dann 4620/6=770
770= 2*5*7*11 , also 4 PF. Dann müsste [mm] 2^{4-1}=8 [/mm] Pärchen a,b. Das passt auch soweit mit meiner Lösung überein.
2. Beispiel
ggT (a,b)= 30 = 2*3*5
kgV (a,b)= 750 = [mm] 2*3*5^3
[/mm]
a*b = 22500
kgV/ggT= 25 = [mm] 5^2 [/mm] , also 2 PF; [mm] 2^{2-1}= [/mm] 2
Ich finde aber nur ein Pärchen, dass der Bedingung entspricht, nämlich a=30 und b=750.
Beispiel 3:
ggT(a,b)= 10 =2*5
kgV (a,b)= 500 = [mm] 2^2*5^3
[/mm]
a*b= 5000
kgV/ggT= 50 = [mm] 2*5^2= [/mm] 50 , also 3 PF. [mm] 2^{3-1}=4. [/mm] Auch hier finde ich aber nur 1 vom ggt und kgV unterschiedliches Pärchen. Das ist
a= [mm] 2^2*5=20 [/mm] , [mm] b=2*5^3=250
[/mm]
5000 hat 20 insgesamt 20 Teiler:
{1,5000;2,2500;4,1250;5,1000;8,625;10,500;20,250;25,200;40,125;50,100}
Wie man sehen kann, hat hier wirklich nur noch 20;250 auch den angegebenen ggT und kgV.
Denke ich falsch, oder stimmt die Regel doch nicht?
> Mitteilung ist doch die Lösung
>
> Primfaktorenzerlegung von [mm]\bruch{kgV}{ggT}[/mm] Anzahl
> verschiedener Primfaktoren sei k
> Dann ist die Anzahl der Möglichkeiten [mm]2^{k-1}[/mm] -1 deshalb,
> da die a,b die gleiche Lösung wie b,a ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Di 10.04.2007 | | Autor: | wauwau |
> Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich dich richtig
> verstehe.
> Ich versuche es an einem weiteren Beispiel:
> ggT (a,b) = 6 = 2*3
> kgV (a,b) = 4620 = [mm]2^{2}*3*5*7*11[/mm]
> a*b= 27720, d.h. alle a,b teilen 27720
>
> Wenn ich dich richtig verstehe, dann 4620/6=770
> 770= 2*5*7*11 , also 4 PF. Dann müsste [mm]2^{4-1}=8[/mm] Pärchen
> a,b. Das passt auch soweit mit meiner Lösung überein.
Vier verschiedene Primfaktoren! in diesem Fall richtig
>
> 2. Beispiel
> ggT (a,b)= 30 = 2*3*5
> kgV (a,b)= 750 = [mm]2*3*5^3[/mm]
> a*b = 22500
> kgV/ggT= 25 = [mm]5^2[/mm] , also 2 PF
nein - nur ein verschiedener Primfaktor (die Primfaktoren mussen jeweils zur Gänze von den a oder b aufgebraucht werden, im konkreten Fall muss daher [mm] 5^2 [/mm] zur gänze a gehören - oder b, denn sonst wäre der ggT ja größer): also Lösung: [mm] 2^{1-1}=1
[/mm]
>; [mm]2^{2-1}=[/mm] 2
> Ich finde aber nur ein Pärchen, dass der Bedingung
> entspricht, nämlich a=30 und b=750.
>
> Beispiel 3:
> ggT(a,b)= 10 =2*5
> kgV (a,b)= 500 = [mm]2^2*5^3[/mm]
> a*b= 5000
> kgV/ggT= 50 = [mm]2*5^2=[/mm] 50 , also 3 PF.
Nein zwei verschiedene Primfaktoren also [mm] 2^{2-1}=2 [/mm] Lösungen normalerweise.
Doch kommt jetzt die Ausnahme zu tragen, die ich vergessen habe zu berücksichtigen.
Wenn ggt und kgv die gleichenPrimfaktoren (mit mindestens 1 als exponent) nämlich n verschiedene enthalten, dann gilt [mm] 2^{n-2}
[/mm]
[mm]2^{3-1}=4.[/mm] Auch hier
> finde ich aber nur 1 vom ggt und kgV unterschiedliches
> Pärchen. Das ist
> a= [mm]2^2*5=20[/mm] , [mm]b=2*5^3=250[/mm]
>
> 5000 hat 20 insgesamt 20 Teiler:
>
> {1,5000;2,2500;4,1250;5,1000;8,625;10,500;20,250;25,200;40,125;50,100}
> Wie man sehen kann, hat hier wirklich nur noch 20;250 auch
> den angegebenen ggT und kgV.
>
> Denke ich falsch, oder stimmt die Regel doch nicht?
>
>
>
> > Mitteilung ist doch die Lösung
> >
> > Primfaktorenzerlegung von [mm]\bruch{kgV}{ggT}[/mm] Anzahl
> > verschiedener Primfaktoren sei k
> > Dann ist die Anzahl der Möglichkeiten [mm]2^{k-1}[/mm] -1 deshalb,
> > da die a,b die gleiche Lösung wie b,a ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:31 Di 10.04.2007 | | Autor: | MePa |
Danke! Das mit den verschiedenen Primfaktoren hatte ich überlesen!
Ich werde das heute abend nochmal an mehreren Beispielen probieren und versuchen die Regel zu begründen.
Liebe Grüße, MePa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Di 10.04.2007 | | Autor: | MePa |
Hallo.
Für alle meine Beispiele stimmt die Regel. Letztendlich weiß ich ja jetzt, dass die Pärchenanzahl lediglich aus der Reihe der 2er-Potenzen stammen kann (warum?)
Allerdings ist mir das noch nicht ganz klar, den eigentlich handelt es sich ja um ein Problem aus der Kombinatorik. Warum betrachte ich die Anzahl der verschiedenen Primfaktoren aus kgV/ggT?
Wenn ich die Anzahl der Teiler einer Zahl bestimme, kann ich den Sachverhalt sehr gut mit dem Hasse-Diagramm veranschaulichen (ist ja auch nichts anderes als Kombinatorik).
Ich stehe bei dieser Aufgabe wirklich auf dem Schlauch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:04 Mi 11.04.2007 | | Autor: | wauwau |
betrachte einen Primfaktor von kgV/ggT
Dann kann dieser (mit samt seinem Exponenten) nur a oder b angehören - also ein duales Ereignis daher die 2er Potenz!
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