ggT und kgV < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachten Sie folgende Aussage: Für alle n,m [mm] \in \IN [/mm] gilt n*n = ggT(n,m)*kgV(n,m)
a) Beweisen Sie die Aussage unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Arithmetik (eindeutige Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen).
b) Beweisen sie die Aussage, ohne den Fundamentalsatz der Arithmetik zu verwenden. |
Hallo,
Teil a) habe ich erledigt, nur weiß ich bei b) nicht weiter. Ich denke ich muss einfach über die Definition von ggT und kgV gehen:
Sei p := ggT(n,m) , h := kgV(n,m) . Dann gilt:
1) p|n und p|m ; für z [mm] \in \IZ [/mm] mit z|n und z|m folgt: z|p
2) n|h und m|h ; für z [mm] \in \IZ [/mm] mit n|z und m|z folgt: h|z
Ich denke ich muss damit etwas zusammenstellen um auf n*m = p*h zu kommen. Ich habe mitlerweile einiges versucht, leider komme ich nicht weiter.
Für Tips wäre ich dankbar, :) .
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Hallo Stephan,
man kann noch mehr aussagen, als das, was Du benutzt.
> Betrachten Sie folgende Aussage: Für alle n,m [mm]\in \IN[/mm] gilt
> n*n = ggT(n,m)*kgV(n,m)
Da soll wohl links $n*m$ stehen. 
> a) Beweisen Sie die Aussage unter Verwendung des
> Fundamentalsatzes der Arithmetik (eindeutige
> Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen).
>
> b) Beweisen sie die Aussage, ohne den Fundamentalsatz der
> Arithmetik zu verwenden.
>
> Hallo,
>
> Teil a) habe ich erledigt, nur weiß ich bei b) nicht
> weiter. Ich denke ich muss einfach über die Definition von
> ggT und kgV gehen:
>
> Sei p := ggT(n,m) , h := kgV(n,m) . Dann gilt:
>
> 1) p|n und p|m ; für z [mm]\in \IZ[/mm] mit z|n und z|m folgt: z|p
> 2) n|h und m|h ; für z [mm]\in \IZ[/mm] mit n|z und m|z folgt:
> h|z
>
> Ich denke ich muss damit etwas zusammenstellen um auf n*m =
> p*h zu kommen. Ich habe mitlerweile einiges versucht,
> leider komme ich nicht weiter.
>
> Für Tips wäre ich dankbar, :) .
Na dann: [mm] n=p*\hat{n} [/mm] und [mm] \ggT{(\hat{n},m)}=1
[/mm]
Ebenso: [mm] m=p*\hat{m} [/mm] und [mm] \ggT{(n,\hat{m})}=1
[/mm]
Daraus folgt [mm] h=p*\hat{n}*\hat{m}
[/mm]
Und jetzt Du.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 Mi 06.11.2013 | | Autor: | felixf |
Moin rev,
> > Sei p := ggT(n,m) , h := kgV(n,m) . Dann gilt:
> >
> > 1) p|n und p|m ; für z [mm]\in \IZ[/mm] mit z|n und z|m folgt: z|p
> > 2) n|h und m|h ; für z [mm]\in \IZ[/mm] mit n|z und m|z folgt:
> > h|z
> >
> > Ich denke ich muss damit etwas zusammenstellen um auf n*m =
> > p*h zu kommen. Ich habe mitlerweile einiges versucht,
> > leider komme ich nicht weiter.
> >
> > Für Tips wäre ich dankbar, :) .
>
> Na dann: [mm]n=p*\hat{n}[/mm] und [mm]\ggT{(\hat{n},m)}=1[/mm]
das stimmt allerdings so nicht ganz: ist etwa $n = 4$, $m = 2$, so ist $p = 2$ und somit [mm] $\hat{n} [/mm] = 2$ und [mm] $ggT(\hat{n}, [/mm] m) = 2$.
Analog kann man Gegenbeispiele fuer die andere Aussage finden, und man findet auch leicht Wahlen fuer $n$ und $m$, so dass beide Aussagen gleichzeitig falsch sind (etwa $n = [mm] 2^2 \cdot [/mm] 3$ und $m = 2 [mm] \cdot 3^2$).
[/mm]
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 Mi 06.11.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Felix!
oops. Bloß gut, dass Du das nochmal gegengelesen hast.
> > > Sei p := ggT(n,m) , h := kgV(n,m) . Dann gilt:
> > >
> > > 1) p|n und p|m ; für z [mm]\in \IZ[/mm] mit z|n und z|m folgt: z|p
> > > 2) n|h und m|h ; für z [mm]\in \IZ[/mm] mit n|z und m|z
> folgt:
> > > h|z
> > >
> > > Ich denke ich muss damit etwas zusammenstellen um auf n*m =
> > > p*h zu kommen. Ich habe mitlerweile einiges versucht,
> > > leider komme ich nicht weiter.
> > >
> > > Für Tips wäre ich dankbar, :) .
> >
> > Na dann: [mm]n=p*\hat{n}[/mm] und [mm]\ggT{(\hat{n},m)}=1[/mm]
>
> das stimmt allerdings so nicht ganz: ist etwa [mm]n = 4[/mm], [mm]m = 2[/mm],
> so ist [mm]p = 2[/mm] und somit [mm]\hat{n} = 2[/mm] und [mm]ggT(\hat{n}, m) = 2[/mm].
>
> Analog kann man Gegenbeispiele fuer die andere Aussage
> finden, und man findet auch leicht Wahlen fuer [mm]n[/mm] und [mm]m[/mm], so
> dass beide Aussagen gleichzeitig falsch sind (etwa [mm]n = 2^2 \cdot 3[/mm]
> und [mm]m = 2 \cdot 3^2[/mm]).
Ja, klar.
Hier reicht aber auch die Aussage [mm] \ggT{(\hat{m},\hat{n})}=1, [/mm] was aus der Definition des [mm] \ggT [/mm] folgt. Vielleicht hätte ich nicht hinten durch die Brust ins Auge argumentieren sollen...
Das ist hier ja auch schiefgegangen.
Liebe Grüße
reverend
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Hallo,
da p = ggT(n,m) ist gibt es n',m' [mm] \in \mathbb{N} [/mm] :
n = p [mm] \cdot [/mm] n'
m = p [mm] \cdot [/mm] m'
Leider komme ich damit nicht weiter. Man könnte die erste Gleichung mit m' multiplizieren:
n [mm] \cdot [/mm] m' = p [mm] \cdot [/mm] n' [mm] \cdot [/mm] m'
Wäre nun h = n [mm] \cdot [/mm] m' so wäre die Aufgabe erledigt, nur finde ich dafür keine Begründung.
Es wäre gut, wenn ihr mir noch einen Tipp gegen könntet.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Do 07.11.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
multiplizier die 2 te Gl mit n' dann hat du n'm=m'n ein gemeinsames vielfachs von n und m
nur noch sagen, warum es das kleinste ist.
Gruss leduart
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Hallo,
es ist also n [mm] \cdot [/mm] m' = n' [mm] \cdot [/mm] m =: d [mm] \in \mathbb{N} [/mm] . Da h = kgV(n,m) ist und d|n sowie d|m gilt muss auch h|d gelten. Also gibt es ein e [mm] \in \mathbb{N} [/mm] : h [mm] \cdot [/mm] e = d gilt. Ich komme leider nicht darauf warum nun d = h gelten muss....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 So 10.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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