ggT und kgV Aufgabe < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Di 10.08.2010 | | Autor: | xgizmo |
| Aufgabe | Für alle [mm] a\in\IZ [/mm] und alle [mm] m,n\in\IN [/mm] gilt:
[mm] ggT(a^{m+n} [/mm] - 1, [mm] a^{n} [/mm] -1) = [mm] ggT(a^{m} [/mm] -1, [mm] a^{n} [/mm] -1) |
Hallo ihr Lieben,
ich habe leider keine Ahnung wie ich da rangehen könnte:(
Habe zwar an Wechselwegnahme gedacht und an Rausziehen bzw. Rausschmeißen hat mir aber leider nichts gebracht...
Wäre für eure Hilfe sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo xgizmo,
> Für alle [mm]a\in\IZ[/mm] und alle [mm]m,n\in\IN[/mm] gilt:
>
> [mm]ggT(a^{m+n}[/mm] - 1, [mm]a^{n}[/mm] -1) = [mm]ggT(a^{m}[/mm] -1, [mm]a^{n}[/mm] -1)
> Hallo ihr Lieben,
>
> ich habe leider keine Ahnung wie ich da rangehen könnte:(
> Habe zwar an Wechselwegnahme gedacht und an Rausziehen
> bzw. Rausschmeißen hat mir aber leider nichts gebracht...
> Wäre für eure Hilfe sehr dankbar!
Es gibt eine Darstellung der Art, daß
[mm]\alpha*\left(a^{m+n}-1\right)+\beta*\left(a^{n}-1\right)=\operatorname{ggT}\left(a^{m+n}-1,a^n-1\right)[/mm]
Führe diese Darstellung zurück auf die Darstellung
[mm]\gamma*\left(a^{m}-1\right)+\delta*\left(a^{n}-1\right)=\operatorname{ggT}\left(a^{m}-1,a^n-1\right)[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Di 10.08.2010 | | Autor: | xgizmo |
Hallo Mathepower,
erstmal vielen Dank für die Antwort...
Ich verstehe leider nicht genau, was ich machen soll...
Ich habe jetzt erstmal die Variabeln miteinander multipliziert:
[mm] \alpha*a^{m+n} [/mm] - [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta*a^{n} [/mm] - [mm] \beta [/mm] =
[mm] a^{n}(\alpha*a^{m}+d) [/mm] - [mm] \alpha [/mm] - [mm] \beta [/mm] ???
aber das hilft mir nicht richtig weiter... oder ich habe dich falsch verstanden..
Kannst du mir das genauer erklären bitte?
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Hallo xgizmo,
> Hallo Mathepower,
>
> erstmal vielen Dank für die Antwort...
>
> Ich verstehe leider nicht genau, was ich machen soll...
> Ich habe jetzt erstmal die Variabeln miteinander
> multipliziert:
>
> [mm]\alpha*a^{m+n}[/mm] - [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta*a^{n}[/mm] - [mm]\beta[/mm] =
> [mm]a^{n}(\alpha*a^{m}+d)[/mm] - [mm]\alpha[/mm] - [mm]\beta[/mm] ???
>
> aber das hilft mir nicht richtig weiter... oder ich habe
> dich falsch verstanden..
> Kannst du mir das genauer erklären bitte?
Erreichen will man ja die Form
[mm]\gamma*\left(a^{m}-1\right)+\beta*\left(a^{n}-1\right)[/mm]
Ersetze daher [mm]a^{m+n}-1[/mm] durch ein geeignetes Vielfaches
von [mm]a^{m}-1}[/mm] plus einen Rest.
Der Rest muss zwangsläufig durch[mm]a^{n}-1[/mm] teilbar sein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Di 10.08.2010 | | Autor: | xgizmo |
Hallo Mathepower ich habe deine Idee zwar verstanden, aber ich komme einfach nicht dazu, was ich setzen kann:(
habe schon versucht [mm] \gamma*a^{m} [/mm] - [mm] \gamma [/mm] zu setzen bringt aber leider nichts... kannst du mir noch einen Tipp geben bitte?
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Hallo xgizmo,
> Hallo Mathepower ich habe deine Idee zwar verstanden, aber
> ich komme einfach nicht dazu, was ich setzen kann:(
>
> habe schon versucht [mm]\gamma*a^{m}[/mm] - [mm]\gamma[/mm] zu setzen bringt
> aber leider nichts... kannst du mir noch einen Tipp geben
> bitte?
Schreibe
[mm]a^{m+n}-1=u*\left(a^{m}-1\right)+v[/mm]
,wobei u,v noch zu ermitteln sind.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Di 10.08.2010 | | Autor: | xgizmo |
muss ich jetzt für u und v etwas mit [mm] \gamma [/mm] oder [mm] \delta [/mm] einsetzen?
Ansonsten habe ich gedacht: u= [mm] a^{n} [/mm] und [mm] v=a^{n}-1 [/mm] ??
Bringt aber scheinbar nichts....
Viele Grüße
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Hallo xgizmo,
> muss ich jetzt für u und v etwas mit [mm]\gamma[/mm] oder [mm]\delta[/mm]
> einsetzen?
>
> Ansonsten habe ich gedacht: u= [mm]a^{n}[/mm] und [mm]v=a^{n}-1[/mm] ??
Ja.
> Bringt aber scheinbar nichts....
Das bringt schon etwas:
Die Gleichung
[mm]\alpha*\left(a^{m+n}-1\right)+\beta*\left(a^{n}-1\right)=\operatorname{ggT}\left(a^{m+n}-1, \ a^{n}-1\right)[/mm]
geht damit über in
[mm]\gamma*\left(a^{m}-1\right)+\detra*\left(a^{n}-1\right)=\operatorname{ggT}\left(a^{m+n}-1, \ a^{n}-1\right)[/mm]
Und was steht nach Definition auf der linken Seite der Gleichung?
>
> Viele Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Di 10.08.2010 | | Autor: | xgizmo |
Hallo Matheforum,
ich habe gerade keinen Durchblick...
Wieso sind wir denn jetzt schon zu Ende?
Wir haben:
[mm] \alpha*(a^{m+n}-1)+\beta*(a^{n}-1) [/mm]
Setze [mm] a^{m+n}:= u*(a^{m}-1)+v [/mm]
D.g. u= [mm] a^{n} [/mm] und v= [mm] a^{n}-1
[/mm]
Aber dann kommt doch wieder:
[mm] \alpha*(a^{m+n}-1) [/mm] ??
Kannst du mir das mal bitte aufschreiben, wie der Beweis aussieht? So sehe ich das überhaupt nicht:(
Vielen dank für dein Bemühen...
Viele Grüße
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Hallo xgizmo,
> Hallo Matheforum,
>
> ich habe gerade keinen Durchblick...
> Wieso sind wir denn jetzt schon zu Ende?
>
> Wir haben:
>
> [mm]\alpha*(a^{m+n}-1)+\beta*(a^{n}-1)[/mm]
> Setze [mm]a^{m+n}:= u*(a^{m}-1)+v[/mm]
> D.g. u= [mm]a^{n}[/mm] und v= [mm]a^{n}-1[/mm]
>
> Aber dann kommt doch wieder:
> [mm]\alpha*(a^{m+n}-1)[/mm] ??
>
> Kannst du mir das mal bitte aufschreiben, wie der Beweis
> aussieht? So sehe ich das überhaupt nicht:(
Wir haben diese Gleichung
[mm]\alpha*(a^{m+n}-1)+\beta*(a^{n}-1)=\operatorname{ggT}\left(a^{m+n}-1, \ a^{n}-1\right)[/mm]
Jetzt ersetzen wir [mm]a^{m+n}-1[/mm] durch [mm]u*\left(a^{m}-1\right)+v[/mm]
mit [mm]u=a^{n}, \ v=a^{n}-1[/mm].
Dann steht da:
[mm]\alpha*(u*\left(a^{m}-1\right)+v)+\beta*(a^{n}-1)=\operatorname{ggT}\left(a^{m+n}-1, \ a^{n}-1\right)[/mm]
[mm]\gdw \alpha*(u*\left(a^{m}-1\right)+a^{n}-1)+\beta*(a^{n}-1)=\operatorname{ggT}\left(a^{m+n}-1, \ a^{n}-1\right)[/mm]
[mm]\gdw \alpha*u*\left(a^{m}-1\right)+\alpha*\left(a^{n}-1\right)+\beta*(a^{n}-1)=\operatorname{ggT}\left(a^{m+n}-1, \ a^{n}-1\right)[/mm]
[mm]\gdw \alpha*u*\left(a^{m}-1\right)+\left(\alpha+\beta\right)*(a^{n}-1)=\operatorname{ggT}\left(a^{m+n}-1, \ a^{n}-1\right)[/mm]
Und nach Definition steht hier
[mm]\operatorname{ggT}\left(a^{m}-1, \ a^{n}-1\right)=\operatorname{ggT}\left(a^{m+n}-1, \ a^{n}-1\right)[/mm]
>
> Vielen dank für dein Bemühen...
> Viele Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Di 10.08.2010 | | Autor: | xgizmo |
jetzt sehe ich es auch...
dann ist sozusagen unser
[mm] \alpha*u [/mm] = [mm] \gamma [/mm]
und [mm] (\alpha+\beta= \delta
[/mm]
aber dann brauchten wir auch garnicht u zu setzen oder??
Hab vielen Dank nochmals!
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Hallo xgizmo,
> jetzt sehe ich es auch...
> dann ist sozusagen unser
> [mm]\alpha*u[/mm] = [mm]\gamma[/mm]
> und [mm](\alpha+\beta= \delta[/mm]
>
>
> aber dann brauchten wir auch garnicht u zu setzen oder??
Doch das mussten wir.
>
> Hab vielen Dank nochmals!
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 Di 10.08.2010 | | Autor: | xgizmo |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 Di 10.08.2010 | | Autor: | abakus |
> Für alle [mm]a\in\IZ[/mm] und alle [mm]m,n\in\IN[/mm] gilt:
>
> [mm]ggT(a^{m+n}[/mm] - 1, [mm]a^{n}[/mm] -1) = [mm]ggT(a^{m}[/mm] -1, [mm]a^{n}[/mm] -1)
> Hallo ihr Lieben,
>
> ich habe leider keine Ahnung wie ich da rangehen könnte:(
> Habe zwar an Wechselwegnahme gedacht und an Rausziehen
> bzw. Rausschmeißen hat mir aber leider nichts gebracht...
> Wäre für eure Hilfe sehr dankbar!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
1) diese Aufgabe riecht (für mich) förmlich nach dem Euklidischen Algorithmus.
2) Wenn d ein Teiler von u und wenn d auch ein Teiler von v ist, so ist d auch ein Teiler von u-v.
Der ggT von [mm] a^{m+n}-1 [/mm] und [mm] a^m-1 [/mm] müsste somit auch ein Teiler von
[mm] (a^{m+n}-1)-(a^m-1)=a^m*(a^n-1) [/mm] sein.
Gruß Abakus
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