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Forum "Zahlentheorie" - ggT und paarweise Teilerfremd
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ggT und paarweise Teilerfremd: Tipp, Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:27 So 13.05.2012
Autor: Kugelrund

Aufgabe
Zeigen Sie: Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt

                              [mm] ggT(n^{4} [/mm] + [mm] 3n^{2} [/mm] + 1, [mm] n^{3} [/mm] + 2n) = 1

Hallo,
ich weiß zwar was der ggT ist und auch dass in der Aufgabenstellung wir zeigen sollen dass a = [mm] n^{4} [/mm] + [mm] 3n^{2} [/mm] + 1 und b =  [mm] n^{3} [/mm] + 2n paarweise teilerfremd sind, jedoch weiß ich nicht wie genau der Beweis aussehen soll.

Es wäre nett wenn ich Denkanstösse oder Verweise kriegen könnte wie ich den Beweis aufbaue.

Liebe Grüße

        
Bezug
ggT und paarweise Teilerfremd: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:38 So 13.05.2012
Autor: felixf

Moin,

> Zeigen Sie: Für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt
>  
> [mm]ggT(n^{4}[/mm] + [mm]3n^{2}[/mm] + 1, [mm]n^{3}[/mm] + 2n) = 1
>  Hallo,
>  ich weiß zwar was der ggT ist und auch dass in der
> Aufgabenstellung wir zeigen sollen dass a = [mm]n^{4}[/mm] + [mm]3n^{2}[/mm]
> + 1 und b =  [mm]n^{3}[/mm] + 2n paarweise teilerfremd sind, jedoch
> weiß ich nicht wie genau der Beweis aussehen soll.
>
> Es wäre nett wenn ich Denkanstösse oder Verweise kriegen
> könnte wie ich den Beweis aufbaue.

mach mal den Euklidischen Algorithmus mit den Polynomen $f = [mm] X^4 [/mm] + 3 [mm] X^2 [/mm] + 1$ und $g = [mm] X^3 [/mm] + 2 X$. Du wirst sehen, die Polynome sind teilerfremd. Jetzt schreibe $1 = [mm] h_1 \cdot [/mm] f + [mm] h_2 \cdot [/mm] g$ mit [mm] $h_1, h_2 \in \IZ[X]$. [/mm] Dann musst du nur noch $n$ einsetzen und du bist fast fertig.

LG Felix


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ggT und paarweise Teilerfremd: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:02 So 13.05.2012
Autor: Kugelrund

danke schon mal für den tipp, ich hab nun mir aufgeschrieben:

[mm] n^{4} [/mm] + [mm] 3n^{2}+1 [/mm] = [mm] (n^{3} [/mm] + 2n) *n + [mm] \bruch{1}{n^{3} + 2n} [/mm]

So nun häng ich fest, was meinst du mit [mm] h_{1, 2} [/mm]  ? Wo soll ich denn da n einsetzen?

LG

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ggT und paarweise Teilerfremd: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 So 13.05.2012
Autor: schachuzipus

Hallo,


> danke schon mal für den tipp, ich hab nun mir
> aufgeschrieben:
>  
> [mm]n^{4}[/mm] + [mm]3n^{2}+1[/mm] = [mm](n^{3}[/mm] + 2n) *n + [mm]\bruch{1}{n^{3} + 2n}[/mm]
>  
> So nun häng ich fest, was meinst du mit [mm]h_{1, 2}[/mm]  ? Wo
> soll ich denn da n einsetzen?

Eulkid. Algorithmus sagt dir was?

Wieso gehst du nicht auf Felix' Tipp ein?

Es ist

[mm]x^4+3x^2+1 \ = \ x\cdot{}(\blue{x^3+2x}) \ + \ (\green{x^2+1})[/mm]

[mm]\blue{x^3+2x} \ = \ x\cdot{}(\green{x^2+1}) \ + \ \textcolor{magenta}{x}[/mm]

[mm]\green{x^2+1} \ = \ x\cdot{}\textcolor{magenta}{x} \ + \ \red{1}[/mm]

Also ist [mm]\operatorname{ggT}(x^4+3x^2+1, x^3+2x)=\red{1}[/mm]

Nun kannst du durch Rückwärtseinsetzen diesen [mm]\operatorname{ggT}[/mm] als LK der Polynome [mm]x^4+3x^2+1[/mm] und [mm]x^3+2x[/mm] schreiben ...

>  
> LG

Gruß

schachuzipus


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ggT und paarweise Teilerfremd: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:34 So 13.05.2012
Autor: mausieux

Kann mir jemand sagen, wie genau das Rückwärtseinsetzen funktioniert?

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Bezug
ggT und paarweise Teilerfremd: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:38 So 13.05.2012
Autor: reverend

Hallo mausieux,

> Kann mir jemand sagen, wie genau das Rückwärtseinsetzen
> funktioniert?

Schlag mal "erweiterter euklidischer Algorithmus" nach. Da wirst Du schnell fündig. Entweder einfach bei google oder über die Suchfunktion hier im Forum.

Grüße
reverend


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Bezug
ggT und paarweise Teilerfremd: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:00 So 13.05.2012
Autor: mausieux

Danke, habe es jetzt bis zur zweiten Gleichung geschafft und die dritte wirft mir kein richtiges Ergebnis, wo ist der Fehler?

1 = [mm] n(n^4 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + 1 - [mm] n(n^3 [/mm] + 2n) - [mm] n(n^3 [/mm] + 2n)

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ggT und paarweise Teilerfremd: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:08 So 13.05.2012
Autor: mausieux

Es fehlt noch eine Klammer in mittleren Teil

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ggT und paarweise Teilerfremd: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:58 So 13.05.2012
Autor: mausieux

Sieht jemand den Fehler?

Bezug
                                                                        
Bezug
ggT und paarweise Teilerfremd: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:52 Mo 14.05.2012
Autor: leduart

Hallo
dass es falsch ist sehe ich, aber nicht, wie du zu dem ergebnis kommst, also zeig deinen Rechenweg.
Gruss leduart

Bezug
                                                        
Bezug
ggT und paarweise Teilerfremd: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:54 Mo 14.05.2012
Autor: leduart

Hallo
siehe meine Mitteilung
gruss leduart

Bezug
                                                                
Bezug
ggT und paarweise Teilerfremd: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:15 Mo 14.05.2012
Autor: mausieux

Hallo, folgendes habe ich gerechnet:

[mm] n^4 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + 1 = n [mm] (n^3 [/mm] + 2n) + [mm] (n^2 [/mm] + 1)

[mm] n^3 [/mm] + 2n = n [mm] (n^2 [/mm] + 1) + n

[mm] n^2 [/mm] + 1 = n * n + 1


1 = [mm] n^2 [/mm] + 1 - n * n

= [mm] n^2 [/mm] + 1 - n [mm] (n^3 [/mm] + 2n - n [mm] (n^2 [/mm] + 1)
= [mm] n^2 [/mm] + 1 - n * n

An dieser Stelle komme ich nicht mehr weiter

Bitte um Hilfe, Gruß

mausieux

Bezug
                                                                        
Bezug
ggT und paarweise Teilerfremd: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:49 Mo 14.05.2012
Autor: schachuzipus

Hallo,


> Hallo, folgendes habe ich gerechnet:
>  
> [mm]n^4[/mm] + [mm]3n^2[/mm] + 1 = n [mm](n^3[/mm] + 2n) + [mm](n^2[/mm] + 1)
>  
> [mm]n^3[/mm] + 2n = n [mm](n^2[/mm] + 1) + n
>  
> [mm]n^2[/mm] + 1 = n * n + 1
>  
>
> 1 = [mm]n^2[/mm] + 1 - n * n
>  
> = [mm]n^2[/mm] + 1 - n [mm](n^3[/mm] + 2n - n [mm](n^2[/mm] + 1) [ok]

Hier aber nicht blind ausmultiplizieren!

[mm]=(\blue{n^2+1})-n(\red{n^3+2n})+n^2(\blue{n^2+1})[/mm]

[mm]=(n^2+1)\cdot{}(\blue{n^2+1})-n\cdot{}(\red{n^3+2n})[/mm]

Nun im eukl. Algorithmus aus der Zeile darüber das [mm]\blue{n^2+1}[/mm] ersetzen durch [mm](\green{n^4+3n^2+1})-n(\red{n^3+2n})[/mm] usw.



>  = [mm]n^2[/mm] + 1 - n * n


>  
> An dieser Stelle komme ich nicht mehr weiter
>  
> Bitte um Hilfe, Gruß
>  
> mausieux

Gruß

schachuzipus


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