ggT von Polynomen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Di 10.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Berechnen Sie den ggT der folgenden Polynome in [mm] \IR[T]:
[/mm]
P(T) = [mm] 4T^4 [/mm] + [mm] T^3 [/mm] + [mm] 3T^2 [/mm] + T - 1
Q(T) = [mm] -4T^5 [/mm] + [mm] 3T^4 [/mm] + [mm] 2T^3 [/mm] + [mm] 7T^2 [/mm] + 6T + 4 |
Ich würde so beginnen, dass ich mir zuerst P(T) anschaue und versuche das ganze in irreduzible Faktoren zu zerlegen.
Aber da gehen schon die Probleme los.. ich finde keine Nullstelle mit der ich eine Poldiv durchführen könnte... wie gehe ich dann an die Sache heran?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Di 10.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
genau wie bei natürlichen Zahlen verwendet man NICHT die Zerlegug in Primfaktoren, sondern den Euklidischen Allgorithmus:
Q(T)=p1(T)*P(T)+R1(T) wobei R(T) <P(T) also mindestens eine Ordnung niedriger.
usw P(T)=p2*R1+R2
ich hoff du erinnerst dich, sonst lies nach unter Euklidischen Allgorithmus.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Mi 11.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
Ahh okay vielen dank...jetzt erinnere ich mich wieder ... ich gehe dann also wie folgt vor:
[mm] (-4T^5+3T^4+2T^3+7T^2+6T+4) [/mm] = (-T+1) * [mm] (4T^4+T^3+3T^2+T-1) [/mm] + [mm] (4T^3+5T^2+4T+5)
[/mm]
dann weiter mit:
[mm] (4T^4+T^3+3T^2+T-1) [/mm] = [mm] (4T^3+5T^2+4T+5) [/mm] * (T-1) + [mm] (4T^2+4)
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] (4T^3+5T^2+4T+5) [/mm] = [mm] (4T^2+4) [/mm] * T + [mm] (5T^2+5)
[/mm]
Und jetzt? der nächsten Schritt [mm] (4T^2+4) [/mm] = [mm] (5T^2+5) [/mm] *0 + [mm] (4T^2+4) [/mm] führt dann zu einem Kreislauf [mm] \Rightarrow (5T^2+5) [/mm] = [mm] (4T^2+4) [/mm] * 0 + [mm] (5T^2+5) [/mm] , da ich kein passendes Element aus [mm] \IZ [/mm] habe um weiter zu dividieren.
Wie fahre ich dann fort?
Gruß Zerwas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Mi 11.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
der letzte Schritt ist falsch weil der Rest nicht kleiner ist! also ist T der falsche Faktor, du brauchst wohl T+1
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:33 Mi 11.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
Autsch ... klar ... ich rechne ja mit Rest
Dann also:
$ [mm] (-4T^5+3T^4+2T^3+7T^2+6T+4) [/mm] $ = (-T+1) * $ [mm] (4T^4+T^3+3T^2+T-1) [/mm] $ + $ [mm] (4T^3+5T^2+4T+5) [/mm] $
dann weiter mit:
$ [mm] (4T^4+T^3+3T^2+T-1) [/mm] $ = $ [mm] (4T^3+5T^2+4T+5) [/mm] $ * (T-1) + $ [mm] (4T^2+4) [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $
$ [mm] (4T^3+5T^2+4T+5) [/mm] $ = $ [mm] (4T^2+4) [/mm] $ * (T+1) + $ [mm] (T^2+1) [/mm] $
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] (4T^2+4) [/mm] = [mm] (T^2+1) [/mm] * 4 + 0
Und damit ist [mm] (T^2+1) [/mm] ggT von P(T) und Q(T).
Jetzt sollte es stimmen oder?
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> Und damit ist [mm](T^2+1)[/mm] ggT von P(T) und Q(T).
>
> Jetzt sollte es stimmen oder?
Hallo,
Du kannst die Probe machen:
Zerlege P(T) und Q(T) in
[mm] P(T)=(T^2+1)p(T) [/mm] und [mm] Q(T)=(T^2+1)q(T) [/mm] (Polynomdivision)
und schau nach, ob p und q gemeinsame Teiler haben.
Gruß v. Angela
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