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ggT von Polynomen lin. darst.: Konkrete Hilfe bis zur Loesung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:11 Do 30.03.2017
Autor: Chrizzldi

Aufgabe
Seien $g,h [mm] \in \mathbb{R}_{[x]}$ [/mm] mit $g(x) + [mm] x^4 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] - 54$ und $h(x) = [mm] x^4 [/mm] - 81$.
(1) Verwenden Sie den erweiterten euklidischen Algorithmus, um [mm] $\ggT(g,h)$ [/mm] und $s,t [mm] \in \mathbb{R}_{[x]}$ [/mm] mit $s [mm] \cdot [/mm] g + t [mm] \cdot [/mm] h = [mm] \ggT(g,h)$ [/mm] zu berechnen.
(2) Zerlegen Sie $h$ in irreduzible Polynome. Weisen Sie insbesondere nach, dass diese Polynome irreduzibel sind.

Liebes Matheforum,

zu obiger Aufgabe brauche ich eure Hilfe. Mein eigentliches Problem ist wohl, dass ich mit dem Algorithmus des EEA nicht ganz zurecht komme. Im Grunde sollte doch das bestimmen einer Linearkombination mit nat. Zahlen gleich ablaufen wie mit Polynomen. Und da gehe ich nach einem mir sehr logischen Prinzip vor:
Bsp.: [mm] $\ggT(52, [/mm] 34)$ (ich glaube ich verwende nur den EA und komme dann intuitiv auf die Linearkombination, bitte korrigiert mich wenn ich falsch liege!)
$52 = 1 [mm] \cdot [/mm] 34 + 18$
$34 = 1 [mm] \cdot [/mm] 18 + 16$
$18 = 1 [mm] \cdot [/mm] 16 + 2$
$16 = 8 [mm] \cdot [/mm] 2 + 0$
ich bin fertig und weiß nun, dass der [mm] $\ggT(52,34) [/mm] = 2$ ist. Um die Linearkombination auszudruecken schreibe ich mir das intuitiv rueckwaerts wieder auf, ich weiß ja jetzt mein [mm] $\ggT [/mm] = 2$, also:
$2 = 18 - (1 [mm] \cdot [/mm] 16)$ einfach nur umgeformt.
$2 = 18 - [mm] 1\cdot(34 [/mm] - 1 [mm] \cdot [/mm] 18)$ (umgeformt und eingesetzt)
$2 = 18 - [mm] 1\cdot [/mm] 34 + [mm] 1\cdot [/mm] 18 = 2 [mm] \cdot [/mm] 18 - [mm] 1\cdot [/mm] 34$ (ausgerechnet)
$2 = 2 [mm] \cdot [/mm] (52 - 1 [mm] \cdot [/mm] 34) - [mm] 1\cdot [/mm] 34$ (wieder umgeformt und eingesetzt)
$2 = 2 [mm] \cdot [/mm] 52 - [mm] 2\cdot [/mm] 34 - [mm] 1\cdot [/mm] 34 = 2 [mm] \cdot [/mm] 52 - [mm] 3\cdot [/mm] 34$ (einfach abzulesen: $s = 2, t = 3$)

Soweit fuer mein Verstaendnis in den nat. Zahlen...

Zur eigentlichen Aufgabe, mir fehlt irgendwie der trick das in meiner Form linear auszudruecken. Aber ich bin erstmal so vorgegangen:

[mm] $x^4 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] - 54 : [mm] x^4 [/mm] - 81 = 1 + [mm] \frac{3x^2 + 27}{x^4 - 81}$ [/mm] habe also einen Rest von [mm] $3x^2 [/mm] + 27$ und fahre fort.
$ [mm] x^4 [/mm] - 81 : [mm] 3x^2 [/mm] + 27 = [mm] \frac{1}{3}x^2 [/mm] -3$ und die Divison geht ohne Rest auf. Mein [mm] $\ggT(x^4 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] - 54, [mm] x^4 [/mm] - 81) = [mm] \frac{1}{3}x^2 [/mm] -3$. Passt das soweit? Eigentlich schon, aber jetzt hab ich Sand im Getriebe. Wie gehe ich weiter vor?

Vielen Dank fuer jede Hilfe!

Liebe Gruesse,
Chis

        
Bezug
ggT von Polynomen lin. darst.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:12 Do 30.03.2017
Autor: leduart

Hallo
es geht wirklich genauso
also
[mm] x^4+3x^2-54=1*(x^4-8)+ 3x^2+27 [/mm]
[mm] x^4-8= a(x)*(3x^2+27) [/mm] + Rest niedrigerer Ordnung
bis du beim ggT bist , und dann rückwärts
also nur  ein wenig mühsamer.
Gruß leduart


Bezug
                
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ggT von Polynomen lin. darst.: kurze Rueckmeldung zu Ergebnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:54 Fr 31.03.2017
Autor: Chrizzldi

Hallo leduart,

danke fuer deine Antwort. Ich habe mir das - nach einer Muetze Schlaf gerade nochmal angeschaut. Und entweder ich bin jetzt total Banane oder es ist super einfach:

[mm] $\ggT(g(x), [/mm] h(x)) = [mm] 3x^2 [/mm] + 27$ (hab ich im ersten Beitrag schon berechnet)

Nun, wenn ich das:

[mm] $\frac{(x^4 + 3x^2 - 54)}{(x^4 - 81)} [/mm] = 1 + [mm] \frac{(3x^2 + 27)}{(x^4 - 81)}$ [/mm]

umstelle zu:

[mm] $(x^4 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] - 54) = 1 [mm] \cdot (x^4 [/mm] - 81) + [mm] (3x^2 [/mm] + 27)$

und weiter:

[mm] $3x^2 [/mm] + 27 = 1 [mm] \cdot(x^4 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] - 54) - 1 [mm] \cdot (x^4 [/mm] - 81)$

habe ich ja schon mein $s,t = 1$.

Also zumindest ausgerechnet stimmt das bei mir auf dem Papier, eine kurze Rueckmeldung waere super!

Gruesse,
Chris

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ggT von Polynomen lin. darst.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:15 Fr 31.03.2017
Autor: leduart

Hallo
sieht gut aus!
Gruß leduart

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