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Forum "Zahlentheorie" - ggT zweier Polynome
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ggT zweier Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:19 Fr 28.11.2014
Autor: eva4eva

Aufgabe
Bestimme Polynome s, t so, dass

[mm] ggT(p_{1},p_{2})=s*p_{1}+t*p_{2} [/mm]

für
[mm] p_{1}= T^2 [/mm]
[mm] p_{2}=(T+1)^2 [/mm]

Mit dem euklid. Algorithmus rechne ich:

(1)
[mm] (T+1)^2 [/mm] = [mm] 1T^2+(2T+1) [/mm]

(2)
[mm] T^2 [/mm] = 1*2T+ [mm] \bruch{1}{2}T [/mm]

(3)
2T = [mm] 4*\bruch{1}{2}T+1 [/mm]

(4)
[mm] \bruch{1}{2}T [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*1 [/mm] +0

Die Polynome sind teilerfremd <=> ggT=1

Jetzt suche ich die Gleichung, in welcher der ggT als Rest vorkommt und löse diese nach dem Rest auf:

(3) <=> 1= [mm] 2T-4*\bruch{1}{2}T [/mm]

Gleichung (2) nach [mm] \bruch{1}{2}T [/mm] aufgelöst:

(2)
[mm] \bruch{1}{2}T [/mm] = [mm] T^2-1*2T [/mm]

Nun setze ich (2) in (3) ein:

[mm] 1=2T-4*(T^2-1*2T) [/mm]

Und nun? Ich muss ja irgendwie auf die Form

[mm] 1=s*T^2 [/mm] + [mm] T*(T+1)^2 [/mm]

kommen.

Ist das Vorgehen denn richtig?

        
Bezug
ggT zweier Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:43 Fr 28.11.2014
Autor: abakus


> Bestimme Polynome s, t so, dass

>

> [mm]ggT(p_{1},p_{2})=s*p_{1}+t*p_{2}[/mm]

>

> für
> [mm]p_{1}= T^2[/mm]
> [mm]p_{2}=(T+1)^2[/mm]
> Mit dem euklid. Algorithmus rechne ich:

>

> (1)
> [mm](T+1)^2[/mm] = [mm]1T^2+(2T+1)[/mm]

>

> (2)
> [mm]T^2[/mm] = 1*2T+ [mm]\bruch{1}{2}T[/mm]

Seit wann ist (rechte Seite) 2,5*T das Gleiche wie [mm] $T^2^$? [/mm]

Gruß Abakus
>

> (3)
> 2T = [mm]4*\bruch{1}{2}T+1[/mm]

>

> (4)
> [mm]\bruch{1}{2}T[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}*1[/mm] +0

>

> Die Polynome sind teilerfremd <=> ggT=1

>

> Jetzt suche ich die Gleichung, in welcher der ggT als Rest
> vorkommt und löse diese nach dem Rest auf:

>

> (3) <=> 1= [mm]2T-4*\bruch{1}{2}T[/mm]

>

> Gleichung (2) nach [mm]\bruch{1}{2}T[/mm] aufgelöst:

>

> (2)
> [mm]\bruch{1}{2}T[/mm] = [mm]T^2-1*2T[/mm]

>

> Nun setze ich (2) in (3) ein:

>

> [mm]1=2T-4*(T^2-1*2T)[/mm]

>

> Und nun? Ich muss ja irgendwie auf die Form

>

> [mm]1=s*T^2[/mm] + [mm]T*(T+1)^2[/mm]

>

> kommen.

>

> Ist das Vorgehen denn richtig?

Bezug
                
Bezug
ggT zweier Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:17 Sa 29.11.2014
Autor: eva4eva


> > Bestimme Polynome s, t so, dass
>  >
>  > [mm]ggT(p_{1},p_{2})=s*p_{1}+t*p_{2}[/mm]

>  >
>  > für

>  > [mm]p_{1}= T^2[/mm]

>  > [mm]p_{2}=(T+1)^2[/mm]

>  > Mit dem euklid. Algorithmus rechne ich:

>  >
>  > (1)

>  > [mm](T+1)^2[/mm] = [mm]1T^2+(2T+1)[/mm]

>  >
>  > (2)

>  > [mm]T^2[/mm] = 1*2T+ [mm]\bruch{1}{2}T[/mm]

>  
> Seit wann ist (rechte Seite) 2,5*T das Gleiche wie [mm]T^2^[/mm]?
>  
> Gruß Abakus

Selbst falls es richtig wäre, könnte ich Dir nicht sagen, "seit wann". ;)

(2)
[mm]T^2[/mm] = [mm] \bruch{1}{2}T*(2T+1)-[/mm]  [mm]\bruch{1}{2}T[/mm]

(3)
[mm] 2T+1=-4*(-\bruch{1}{2}T)+1 [/mm]

(4)
[mm] -\bruch{1}{2}T=1*(-\bruch{1}{2}T)+0 [/mm]

Löse (3) nach 1=... auf und (2) nach [mm] -\bruch{1}{2}T=... [/mm]

(2) in (3):
[mm] 1=2T+1-4*(T^2-\bruch{1}{2}T(2T+1))=2T+1+4T^2-4T^2-2T [/mm]

scheint nichts zu bringen. Oder wieder plump verrechnet?
Ich habe ein Bsp. mit ggT zweier ganzer Zahlen vorliegen und habe es nach diesem Muster gemacht, gerade auch das mit dem Umformen und Einsetzen am Schluss. Scheint nicht zielführend zu sein.#
Wie komme ich nun auf s,t bzgl. [mm]1=s*T^2[/mm] + [mm]t*(T+1)^2[/mm] ?

Edit:
Ich habe jetzt heftig mit den ganzen Ausdrücken jongliert:

[mm] 2T+1+4T^2-4T^2-2T [/mm]
[mm] =(T+1)^2-T^2-2T [/mm] ...

[Hier ist x gesucht, sodass [mm] T^2*x=-T^2-2T [/mm] <=> [mm] x=-1-\bruch{2}{T}] [/mm]

[mm] ...=1*(T+1)^2+(-1-\bruch{2}{T})T^2=1 [/mm]

mit gesuchten
s=1
[mm] t=(-1-\bruch{2}{T}) [/mm]

War das jetzt viel zu kompliziert/ geht es auch geschickter zu rechnen?
Und diese Zerlegung des ggT muss nicht eindeutig sein, oder?



>  >
>  > (3)

>  > 2T = [mm]4*\bruch{1}{2}T+1[/mm]

>  >
>  > (4)

>  > [mm]\bruch{1}{2}T[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}*1[/mm] +0

>  >
>  > Die Polynome sind teilerfremd <=> ggT=1

>  >
>  > Jetzt suche ich die Gleichung, in welcher der ggT als

> Rest
>  > vorkommt und löse diese nach dem Rest auf:

>  >
>  > (3) <=> 1= [mm]2T-4*\bruch{1}{2}T[/mm]

>  >
>  > Gleichung (2) nach [mm]\bruch{1}{2}T[/mm] aufgelöst:

>  >
>  > (2)

>  > [mm]\bruch{1}{2}T[/mm] = [mm]T^2-1*2T[/mm]

>  >
>  > Nun setze ich (2) in (3) ein:

>  >
>  > [mm]1=2T-4*(T^2-1*2T)[/mm]

>  >
>  > Und nun? Ich muss ja irgendwie auf die Form

>  >
>  > [mm]1=s*T^2[/mm] + [mm]T*(T+1)^2[/mm]

>  >
>  > kommen.

>  >
>  > Ist das Vorgehen denn richtig?


Bezug
                        
Bezug
ggT zweier Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:09 Sa 29.11.2014
Autor: reverend

Hallo eva4eva,

das sieht soweit doch gar nicht schlecht aus. Du verlierst nur das Ziel aus den Augen.

> > > Bestimme Polynome s, t so, dass
>  >  >
>  >  > [mm]ggT(p_{1},p_{2})=s*p_{1}+t*p_{2}[/mm]

>  >  >
>  >  > für

>  >  > [mm]p_{1}= T^2[/mm]

>  >  > [mm]p_{2}=(T+1)^2[/mm]

>  >  > Mit dem euklid. Algorithmus rechne ich:

>  >  >
>  >  > (1)

>  >  > [mm](T+1)^2[/mm] = [mm]1T^2+(2T+1)[/mm]

>  >  >
>  >  > (2)

>  >  > [mm]T^2[/mm] = 1*2T+ [mm]\bruch{1}{2}T[/mm]

>  >  
> > Seit wann ist (rechte Seite) 2,5*T das Gleiche wie [mm]T^2^[/mm]?
>  >  
> > Gruß Abakus
>  
> Selbst falls es richtig wäre, könnte ich Dir nicht sagen,
> "seit wann". ;)

Sagen wir mal, etwa [mm] 1696\pm{10}\text{Gs}. [/mm] ;-)

> (2)
> [mm]T^2[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}T*(2T+1)-[/mm]  [mm]\bruch{1}{2}T[/mm]
>  
> (3)
>  [mm]2T+1=-4*(-\bruch{1}{2}T)+1[/mm]
>  
> (4)
>  [mm]-\bruch{1}{2}T=1*(-\bruch{1}{2}T)+0[/mm]
>  
> Löse (3) nach 1=... auf und (2) nach [mm]-\bruch{1}{2}T=...[/mm]
>  
> (2) in (3):
>  [mm]1=2T+1-4*(T^2-\bruch{1}{2}T(2T+1))=2T+1+4T^2-4T^2-2T[/mm]
>  
> scheint nichts zu bringen. Oder wieder plump verrechnet?

Nein. Du rechnest nur zu viel aus. Mal schrittweise rückwärts:

aus (3): [mm] 1=(2T+1)+4*\left(-\br{1}{2}T\right) [/mm]

Jetzt können wir das [mm] -\tfrac{1}{2}T [/mm] aus (2) bestimmen und setzen ein:

(3),(2): [mm] 1=(2T+1)+4*\left(T^2-\br{1}{2}T*(2T+1)\right) [/mm]

Der Standardfehler ist jetzt, einfach alles auszumultiplizieren, was Du ja auch getan hast. Damit kommt man nicht weiter. Am Ende willst Du doch [mm] s*T^2+t*(T+1)^2 [/mm] haben. Bei längeren Rechnungen im euklidischen Algorithmus tauchen die beiden Ursprungsterme erstmal gar nicht auf, deswegen ist immer wichtig im Auge zu behalten, womit man hier eigentlich jongliert.
Im Moment werden wir gerade das [mm] -\tfrac{1}{2}T [/mm] los und erhalten eine Gleichung mit den "Haupttermen" [mm] T^2 [/mm] (der ist schon da) und $(2T+1)$.
Die Gleichung oben kann man durch Ausklammern also im Moment nur soweit zusammenfassen:

(3),(2): [mm] 1=(2T+1)+4*\left(T^2-\br{1}{2}T*(2T+1)\right)=4T^2+(1-2T)(2T+1) [/mm]

Jetzt wollen wir noch das $(2T+1)$ ersetzen und ziehen dazu Gleichung (1) heran:

(3),(2),(1): [mm] 1=4T^2+(1-2T)((T+1)^2-T^2)=(1-2T)(T+1)^2+(3+2T)T^2 [/mm]

So, fertig.
Mach mal die Probe, dann siehst Du, dass es stimmt.

>  Ich habe ein Bsp. mit ggT zweier ganzer Zahlen vorliegen
> und habe es nach diesem Muster gemacht, gerade auch das mit
> dem Umformen und Einsetzen am Schluss. Scheint nicht
> zielführend zu sein.#

Doch, immer. Die meisten kriegen diesen erweiterten Algorithmus aber schon mit ganzen Zahlen nicht hin. Mit Polynomen verliert man noch leichter den Überblick, weil die Vorfaktoren ja auch Polynome sind.

>  Wie komme ich nun auf s,t bzgl. [mm]1=s*T^2[/mm] + [mm]t*(T+1)^2[/mm] ?

Siehe oben. s=3+2T, t=1-2T

> Edit:
>  Ich habe jetzt heftig mit den ganzen Ausdrücken
> jongliert:
>  
> [mm]2T+1+4T^2-4T^2-2T[/mm]
>  [mm]=(T+1)^2-T^2-2T[/mm] ...
>  
> [Hier ist x gesucht, sodass [mm]T^2*x=-T^2-2T[/mm] <=>
> [mm]x=-1-\bruch{2}{T}][/mm]

Bahnhof?

> [mm]...=1*(T+1)^2+(-1-\bruch{2}{T})T^2=1[/mm]
>  
> mit gesuchten
> s=1
>  [mm]t=(-1-\bruch{2}{T})[/mm]

Nee, T taucht nicht mit negativem Exponenten auf, und den hast Du hier ja. Wie gesagt, auch die Vorfaktoren s,t müssen Polynome sein.

> War das jetzt viel zu kompliziert/ geht es auch geschickter
> zu rechnen?
>  Und diese Zerlegung des ggT muss nicht eindeutig sein,
> oder?

Doch, sie ist eindeutig.
Pardon, das ist ungenau. Der Algorithmus liefert eine eindeutige Lösung. Ansonsten ist die Lösung aber nicht eindeutig.

Grüße
reverend


Bezug
                                
Bezug
ggT zweier Polynome: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:22 Sa 29.11.2014
Autor: eva4eva


> Hallo eva4eva,
>  

Hallo, danke für die Antwort!

> das sieht soweit doch gar nicht schlecht aus. Du verlierst
> nur das Ziel aus den Augen.
>  
> > > > Bestimme Polynome s, t so, dass
>  >  >  >
>  >  >  > [mm]ggT(p_{1},p_{2})=s*p_{1}+t*p_{2}[/mm]

>  >  >  >
>  >  >  > für

>  >  >  > [mm]p_{1}= T^2[/mm]

>  >  >  > [mm]p_{2}=(T+1)^2[/mm]

>  >  >  > Mit dem euklid. Algorithmus rechne ich:

>  >  >  >
>  >  >  > (1)

>  >  >  > [mm](T+1)^2[/mm] = [mm]1T^2+(2T+1)[/mm]

>  >  >  >
>  >  >  > (2)

>  >  >  > [mm]T^2[/mm] = 1*2T+ [mm]\bruch{1}{2}T[/mm]

>  >  >  
> > > Seit wann ist (rechte Seite) 2,5*T das Gleiche wie [mm]T^2^[/mm]?
>  >  >  
> > > Gruß Abakus
>  >  
> > Selbst falls es richtig wäre, könnte ich Dir nicht sagen,
> > "seit wann". ;)
>  
> Sagen wir mal, etwa [mm]1696\pm{10}\text{Gs}.[/mm] ;-)
>  
> > (2)
> > [mm]T^2[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}T*(2T+1)-[/mm]  [mm]\bruch{1}{2}T[/mm]
>  >  
> > (3)
>  >  [mm]2T+1=-4*(-\bruch{1}{2}T)+1[/mm]
>  >  
> > (4)
>  >  [mm]-\bruch{1}{2}T=1*(-\bruch{1}{2}T)+0[/mm]
>  >  
> > Löse (3) nach 1=... auf und (2) nach [mm]-\bruch{1}{2}T=...[/mm]
>  >  
> > (2) in (3):
>  >  [mm]1=2T+1-4*(T^2-\bruch{1}{2}T(2T+1))=2T+1+4T^2-4T^2-2T[/mm]
>  >  
> > scheint nichts zu bringen. Oder wieder plump verrechnet?
>  
> Nein. Du rechnest nur zu viel aus. Mal schrittweise
> rückwärts:
>  
> aus (3): [mm]1=(2T+1)+4*\left(-\br{1}{2}T\right)[/mm]
>  
> Jetzt können wir das [mm]-\tfrac{1}{2}T[/mm] aus (2) bestimmen und
> setzen ein:
>  
> (3),(2): [mm]1=(2T+1)+4*\left(T^2-\br{1}{2}T*(2T+1)\right)[/mm]
>  
> Der Standardfehler ist jetzt, einfach alles
> auszumultiplizieren, was Du ja auch getan hast. Damit kommt
> man nicht weiter. Am Ende willst Du doch [mm]s*T^2+t*(T+1)^2[/mm]
> haben. Bei längeren Rechnungen im euklidischen Algorithmus
> tauchen die beiden Ursprungsterme erstmal gar nicht auf,
> deswegen ist immer wichtig im Auge zu behalten, womit man
> hier eigentlich jongliert.
>  Im Moment werden wir gerade das [mm]-\tfrac{1}{2}T[/mm] los und
> erhalten eine Gleichung mit den "Haupttermen" [mm]T^2[/mm] (der ist
> schon da) und [mm](2T+1)[/mm].

Dass [mm] T^2 [/mm] ein "Hauptterm" ist, ist mir klar, denn mit einem Vielfachen davon möchte ich ja anteilig meinen ggT zusammenbauen. Warum ist (2T+1) ein solcher? Weil er mit den "Link"  zu dem anderen Faktor [mm] (T+1)^2 [/mm] durch Einsetzen ermöglicht?

> Die Gleichung oben kann man durch Ausklammern also im
> Moment nur soweit zusammenfassen:
>  
> (3),(2):
> [mm]1=(2T+1)+4*\left(T^2-\br{1}{2}T*(2T+1)\right)=4T^2+(1-2T)(2T+1)[/mm]

Das zweite =-Zeichen ist mir nicht klar.
Bei mir steht da [mm] 1=(2T+1)+4T^2-2T(2T+1) [/mm]

Dort das Äquivalent aus zu (2T+1) aus Gleichung (1) einsetzen führt auch in den Wald.

>  
> Jetzt wollen wir noch das [mm](2T+1)[/mm] ersetzen und ziehen dazu
> Gleichung (1) heran:
>  
> (3),(2),(1):
> [mm]1=4T^2+(1-2T)((T+1)^2-T^2)=(1-2T)(T+1)^2+(3+2T)T^2[/mm]
>  
> So, fertig.
>  Mach mal die Probe, dann siehst Du, dass es stimmt.
>  
> >  Ich habe ein Bsp. mit ggT zweier ganzer Zahlen vorliegen

> > und habe es nach diesem Muster gemacht, gerade auch das mit
> > dem Umformen und Einsetzen am Schluss. Scheint nicht
> > zielführend zu sein.#
>  
> Doch, immer. Die meisten kriegen diesen erweiterten
> Algorithmus aber schon mit ganzen Zahlen nicht hin. Mit
> Polynomen verliert man noch leichter den Überblick, weil
> die Vorfaktoren ja auch Polynome sind.
>  
> >  Wie komme ich nun auf s,t bzgl. [mm]1=s*T^2[/mm] + [mm]t*(T+1)^2[/mm] ?

>  
> Siehe oben. s=3+2T, t=1-2T
>  
> > Edit:
>  >  Ich habe jetzt heftig mit den ganzen Ausdrücken
> > jongliert:
>  >  
> > [mm]2T+1+4T^2-4T^2-2T[/mm]
>  >  [mm]=(T+1)^2-T^2-2T[/mm] ...
>  >  
> > [Hier ist x gesucht, sodass [mm]T^2*x=-T^2-2T[/mm] <=>
> > [mm]x=-1-\bruch{2}{T}][/mm]
>  
> Bahnhof?
>  
> > [mm]...=1*(T+1)^2+(-1-\bruch{2}{T})T^2=1[/mm]
>  >  
> > mit gesuchten
> > s=1
>  >  [mm]t=(-1-\bruch{2}{T})[/mm]
>  
> Nee, T taucht nicht mit negativem Exponenten auf, und den
> hast Du hier ja. Wie gesagt, auch die Vorfaktoren s,t
> müssen Polynome sein.

Schade, das t erfüllt de Gleichung, ist aber offenbar gar nicht erlaubt.

>  
> > War das jetzt viel zu kompliziert/ geht es auch geschickter
> > zu rechnen?
>  >  Und diese Zerlegung des ggT muss nicht eindeutig sein,
> > oder?
>  
> Doch, sie ist eindeutig.
>  Pardon, das ist ungenau. Der Algorithmus liefert eine
> eindeutige Lösung. Ansonsten ist die Lösung aber nicht
> eindeutig.
>  
> Grüße
>  reverend
>  


Bezug
                                        
Bezug
ggT zweier Polynome: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Mo 01.12.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                
Bezug
ggT zweier Polynome: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:11 Sa 29.11.2014
Autor: eva4eva


> Doch, immer. Die meisten kriegen diesen erweiterten
> Algorithmus aber schon mit ganzen Zahlen nicht hin.

Sowas gibt es?
Ja:

ges.:
1.ggT(2246,90)

(1) 2246=24*90+86
(2) 90=1*86+4
(3) 86=21*4+2
(4) 4=2*2+0

=> ggT ist 2

2. s,t mit 2=s*2246+t*90

(3)<=> 2=86-21*4
(2)<=> 4=90-1*86

(2) in (3) ergibt Gleichung (5):

(5) 2=86-21*(90-1*86)

Jetzt kann ich noch (1) nach 86 auflösen:

(1)<=>86=2246-24*90

(1) in (5):

2=86-21*(90-(2246-24*90))


Und nochmal (1) 86=... einsetzen: (hatte ich beim ersten Einsetzen übersehen, dass da zwei "86" auftauchen)

2=2246-24*90-21*(90-2246-24*90)=22*2246-54*90

Und das ergibt tatsächlich 2:

2=22*2246-54*90

Meine Güte ist das kompliziert/zeitaufwändig!!
Mache ich es hier wieder zu kompliziert oder geht es nich anders?







Bezug
                                        
Bezug
ggT zweier Polynome: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Mo 01.12.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                
Bezug
ggT zweier Polynome: nochmal
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:01 Mo 01.12.2014
Autor: eva4eva


> Hallo eva4eva,
>  

Hallo, danke für die Antwort!

> das sieht soweit doch gar nicht schlecht aus. Du verlierst
> nur das Ziel aus den Augen.
>  
> > > > Bestimme Polynome s, t so, dass
>  >  >  >
>  >  >  > [mm]ggT(p_{1},p_{2})=s*p_{1}+t*p_{2}[/mm]

>  >  >  >
>  >  >  > für

>  >  >  > [mm]p_{1}= T^2[/mm]

>  >  >  > [mm]p_{2}=(T+1)^2[/mm]

>  >  >  > Mit dem euklid. Algorithmus rechne ich:

>  >  >  >
>  >  >  > (1)

>  >  >  > [mm](T+1)^2[/mm] = [mm]1T^2+(2T+1)[/mm]

>  >  >  >
>  >  >  > (2)

>  >  >  > [mm]T^2[/mm] = 1*2T+ [mm]\bruch{1}{2}T[/mm]

>  >  >  
> > > Seit wann ist (rechte Seite) 2,5*T das Gleiche wie [mm]T^2^[/mm]?
>  >  >  
> > > Gruß Abakus
>  >  
> > Selbst falls es richtig wäre, könnte ich Dir nicht sagen,
> > "seit wann". ;)
>  
> Sagen wir mal, etwa [mm]1696\pm{10}\text{Gs}.[/mm] ;-)
>  
> > (2)
> > [mm]T^2[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}T*(2T+1)-[/mm]  [mm]\bruch{1}{2}T[/mm]
>  >  
> > (3)
>  >  [mm]2T+1=-4*(-\bruch{1}{2}T)+1[/mm]
>  >  
> > (4)
>  >  [mm]-\bruch{1}{2}T=1*(-\bruch{1}{2}T)+0[/mm]
>  >  
> > Löse (3) nach 1=... auf und (2) nach [mm]-\bruch{1}{2}T=...[/mm]
>  >  
> > (2) in (3):
>  >  [mm]1=2T+1-4*(T^2-\bruch{1}{2}T(2T+1))=2T+1+4T^2-4T^2-2T[/mm]
>  >  
> > scheint nichts zu bringen. Oder wieder plump verrechnet?
>  
> Nein. Du rechnest nur zu viel aus. Mal schrittweise
> rückwärts:
>  
> aus (3): [mm]1=(2T+1)+4*\left(-\br{1}{2}T\right)[/mm]
>  
> Jetzt können wir das [mm]-\tfrac{1}{2}T[/mm] aus (2) bestimmen und
> setzen ein:
>  
> (3),(2): [mm]1=(2T+1)+4*\left(T^2-\br{1}{2}T*(2T+1)\right)[/mm]
>  
> Der Standardfehler ist jetzt, einfach alles
> auszumultiplizieren, was Du ja auch getan hast. Damit kommt
> man nicht weiter. Am Ende willst Du doch [mm]s*T^2+t*(T+1)^2[/mm]
> haben. Bei längeren Rechnungen im euklidischen Algorithmus
> tauchen die beiden Ursprungsterme erstmal gar nicht auf,
> deswegen ist immer wichtig im Auge zu behalten, womit man
> hier eigentlich jongliert.
>  Im Moment werden wir gerade das [mm]-\tfrac{1}{2}T[/mm] los und
> erhalten eine Gleichung mit den "Haupttermen" [mm]T^2[/mm] (der ist
> schon da) und [mm](2T+1)[/mm].

Dass [mm] T^2 [/mm] ein "Hauptterm" ist, ist mir klar, denn mit einem Vielfachen davon möchte ich ja anteilig meinen ggT zusammenbauen. Warum ist (2T+1) ein solcher? Weil er mit den "Link"  zu dem anderen Faktor [mm] (T+1)^2 [/mm] durch Einsetzen ermöglicht?

> Die Gleichung oben kann man durch Ausklammern also im
> Moment nur soweit zusammenfassen:
>  
> (3),(2):
> [mm]1=(2T+1)+4*\left(T^2-\br{1}{2}T*(2T+1)\right)=4T^2+(1-2T)(2T+1)[/mm]

Das zweite =-Zeichen ist mir nicht klar.
Bei mir steht da [mm] 1=(2T+1)+4T^2-2T(2T+1) [/mm]

Dort das Äquivalent aus zu (2T+1) aus Gleichung (1) einsetzen führt auch in den Wald.

>  
> Jetzt wollen wir noch das [mm](2T+1)[/mm] ersetzen und ziehen dazu
> Gleichung (1) heran:
>  
> (3),(2),(1):
> [mm]1=4T^2+(1-2T)((T+1)^2-T^2)=(1-2T)(T+1)^2+(3+2T)T^2[/mm]
>  
> So, fertig.
>  Mach mal die Probe, dann siehst Du, dass es stimmt.
>  
> >  Ich habe ein Bsp. mit ggT zweier ganzer Zahlen vorliegen

> > und habe es nach diesem Muster gemacht, gerade auch das mit
> > dem Umformen und Einsetzen am Schluss. Scheint nicht
> > zielführend zu sein.#
>  
> Doch, immer. Die meisten kriegen diesen erweiterten
> Algorithmus aber schon mit ganzen Zahlen nicht hin. Mit
> Polynomen verliert man noch leichter den Überblick, weil
> die Vorfaktoren ja auch Polynome sind.
>  
> >  Wie komme ich nun auf s,t bzgl. [mm]1=s*T^2[/mm] + [mm]t*(T+1)^2[/mm] ?

>  
> Siehe oben. s=3+2T, t=1-2T
>  
> > Edit:
>  >  Ich habe jetzt heftig mit den ganzen Ausdrücken
> > jongliert:
>  >  
> > [mm]2T+1+4T^2-4T^2-2T[/mm]
>  >  [mm]=(T+1)^2-T^2-2T[/mm] ...
>  >  
> > [Hier ist x gesucht, sodass [mm]T^2*x=-T^2-2T[/mm] <=>
> > [mm]x=-1-\bruch{2}{T}][/mm]
>  
> Bahnhof?
>  
> > [mm]...=1*(T+1)^2+(-1-\bruch{2}{T})T^2=1[/mm]
>  >  
> > mit gesuchten
> > s=1
>  >  [mm]t=(-1-\bruch{2}{T})[/mm]
>  
> Nee, T taucht nicht mit negativem Exponenten auf, und den
> hast Du hier ja. Wie gesagt, auch die Vorfaktoren s,t
> müssen Polynome sein.

Schade, das t erfüllt de Gleichung, ist aber offenbar gar nicht erlaubt.

>  
> > War das jetzt viel zu kompliziert/ geht es auch geschickter
> > zu rechnen?
>  >  Und diese Zerlegung des ggT muss nicht eindeutig sein,
> > oder?
>  
> Doch, sie ist eindeutig.
>  Pardon, das ist ungenau. Der Algorithmus liefert eine
> eindeutige Lösung. Ansonsten ist die Lösung aber nicht
> eindeutig.
>  
> Grüße
>  reverend
>  


Bezug
                                        
Bezug
ggT zweier Polynome: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Do 04.12.2014
Autor: matux

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