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ggt(987654321,123456789) in Q: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:31 So 03.05.2015
Autor: preissg6

Aufgabe
Berechne die Bezout-Koeffizienten x und y mit xa+yb=ggt(a,b) (bis auf Assoziiertheit)
a=987654321, b=123456789 in Q

Der ggt bzw. die Bezout-Koeffizienten würden in Z wie folgt aussehen:
ggt(987654321,123456789)=9=1*987654321+(-8)*123456789
In Q verstehe ich diese Aufgabe nicht wirklich, da der ggt von zwei Zahlen immer die kleinere der Beiden wäre. In meinem Fall wäre der ggt dann 123456789, da nach dem euklidischen Algorithmus 987654321=(987654321/123456789)*123456789+0


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
ggt(987654321,123456789) in Q: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:20 Mo 04.05.2015
Autor: tobit09

Hallo preissg6 und herzlich [willkommenmr]!


> Berechne die Bezout-Koeffizienten x und y mit
> xa+yb=ggt(a,b) (bis auf Assoziiertheit)
>  a=987654321, b=123456789 in Q

Mit $Q$ ist der Körper [mm] $\IQ$ [/mm] der rationalen Zahlen gemeint?

Wie habt ihr den Begriff ggT definiert?
Habt ihr eine Definition des Begriffes Bezout-Koeffizient?


>  Der ggt bzw. die Bezout-Koeffizienten würden in Z wie
> folgt aussehen:
> ggt(987654321,123456789)=9=1*987654321+(-8)*123456789

[ok]

Die Koeffizienten aus dem Lemma von Bezout sind jedoch keineswegs eindeutig bestimmt.


>  In Q verstehe ich diese Aufgabe nicht wirklich, da der ggt
> von zwei Zahlen immer die kleinere der Beiden wäre.

So richtig sinnvoll erscheint mir die Aufgabe auch nicht, wenn $Q$ den Körper der rationalen Zahlen bezeichnet.

In [mm] $\IQ$ [/mm] gibt es bis auf Assoziiertheit nur zwei Elemente: 0 und 1 (wobei die 1 assoziiert zu allen rationalen Zahlen außer der 0 ist).

Für [mm] $a_1,\ldots,a_n\in\IQ$ [/mm] können nur zwei Fälle eintreten:

1. Fall: [mm] $a_1=\ldots=a_n=0$. [/mm]
Dann ist der ggT von [mm] a_1,\ldots,a_n [/mm] gegeben durch die rationale Zahl 0.

2. Fall: Für mindestens ein [mm] $i\in\{1,\ldots,n\}$ [/mm] gilt [mm] $a_i\not=0$. [/mm]
Dann ist sind alle rationalen Zahlen außer der 0 ggT von [mm] $a_1,\ldots,a_n$. [/mm]

Beispielsweise sind die ggT der Zahlen 0 und 1 die rationalen Zahlen ungleich 0 und somit nicht die kleinere der beiden Zahlen.

Auch die ggT der beiden Zahlen aus der Aufgabenstellung sind alle rationalen Zahlen ungleich 0.


> In
> meinem Fall wäre der ggt dann 123456789,

Ja, dass ist somit einer der ggT.


Viele Grüße
Tobias

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