glatte Kurve /Primzahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für jede Primzahl p betrachten wir die Kurve
[mm] C_p:Y^2=X^3+[25]_pX+[11]_p [/mm] über dem endlichen Körper [mm] \IF_p
[/mm]
a) Für welche Primzahlen [mm] p\ge [/mm] 5 ist [mm] C_p [/mm] glatt?
b) Sei p=11. zeige, dass [mm] P=([6]_{11},[5]_{11}) [/mm] ein glatter Punkt in [mm] C_{11}(\IF_{11}) [/mm] ist und bestimme die Tangente an [mm] C_{11} [/mm] in P.
c) Für welche Punkte [mm] Q\in C_{11}(\IF_{11}) [/mm] ist die Tangente [mm] T_QC_{11} [/mm] parallel zur Y-Achse (d.h. von der Form [mm] T_QC_{11}:X=\alpha [/mm] mit [mm] \alpha\in \IF_{11} [/mm] geeignet?) |
Ich verstehe hier nur Bahnhof.
Könnt ihr mir vielleicht bei den 3 Teilaufgaben erklären wie ich das machen kann?
Damit wäre mir sehr geholfen.
MfG
Mathegirl
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Fr 27.01.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo! Sitze mal wieder an der selben Aufgabe.. da im Skript nix steht, hab ich mal google gefragt:
Für a) gibt es die Möglichkeit mit der Diskriminante zu argumentieren, siehe ![[]](/images/popup.gif) hier.
Nur müsste man damit praktisch alle Primzahlen überprüfen die es gibt und so viel Zeit habe ich gerade nicht. :D
Logisch wäre es, wenn [mm] C_p [/mm] ab einer gewissen Primzahl immer glatt/nicht glatt wäre.. aber wie finde ich das raus?
Kann jemand helfen?
Gruß
chesn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Fr 27.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo! Sitze mal wieder an der selben Aufgabe.. da im
> Skript nix steht, hab ich mal google gefragt:
>
> Für a) gibt es die Möglichkeit mit der Diskriminante zu
> argumentieren, siehe
> hier.
>
> Nur müsste man damit praktisch alle Primzahlen
> überprüfen die es gibt und so viel Zeit habe ich gerade
> nicht. :D
Um zu schauen, durch welche Primzahlen eine feste ganze Zahl wie $48$ teilbar ist, muss man nicht unendlich viele Primzahlen durchprobieren. Man faktorisiert sie einfach.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Fr 27.01.2012 | | Autor: | chesn |
Danke erstmal! Also es ist:
[mm] D=-(4*[25]_p^3+27*[11]_p^2)=-([62500]_p+[3267]_p)=-[65767]_p
[/mm]
Jetzt faktorisiere ich:
65767=13*5059
Jetzt rechnet man leicht nach, dass die Diskriminante für p=13 und p=5059 null ist. D.h. für diese beiden p ist [mm] C_p [/mm] nicht glatt.
Dürfte so passen.
(b) Sollte ja dann kein Problem mehr sein. Für die Tangente im Punkt P(x,y) habe ich die Formel gefunden:
[mm] T(x,y)=(\bruch{3x^2+[25]_p}{2y})
[/mm]
Hoffe das passt bis jetzt. Wenn ich noch was rausfinde melde ich mich wieder. :)
Gruß
chesn
Edit: Sorry, sollte eig keine Frage sein.. aber wenn jemand Fehler findet möge er sich melden! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Fr 27.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Danke erstmal! Also es ist:
>
> [mm]D=-(4*[25]_p^3+27*[11]_p^2)=-([62500]_p+[3267]_p)=-[65767]_p[/mm]
>
> Jetzt faktorisiere ich:
>
> 65767=13*5059
>
> Jetzt rechnet man leicht nach, dass die Diskriminante für
> p=13 und p=5059 null ist. D.h. für diese beiden p ist [mm]C_p[/mm]
> nicht glatt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dürfte so passen.
>
> (b) Sollte ja dann kein Problem mehr sein. Für die
> Tangente im Punkt P(x,y) habe ich die Formel gefunden:
>
> [mm]T(x,y)=(\bruch{3x^2+[25]_p}{2y})[/mm]
Das sieht nicht nach einer Tangente aus. Soll das vielleicht die Steigung der Tangente in einem Punkt sein?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Sa 28.01.2012 | | Autor: | chesn |
Oh, ja.. mein Fehler, das war nur die Steigung... aber berechnen wir die erstmal:
In [mm] m=\bruch{3X^2+[3]_{11}}{2Y} [/mm] setze ich den Punkt [mm] P=([6]_{11},[5]_{11}) [/mm] ein.
=> [mm] m=\bruch{[1]_{11}}{[10]_{11}} [/mm] irgendwie fällt mir hier jetzt die Bruchrechnung mit Restklassen etwas schwer.
Mit Y=m*X+b erhalte ich durch Einsetzen:
[mm] [5]_{11}=\bruch{[1]_{11}}{[10]_{11}}*[6]_{11}+b
[/mm]
da steh ich etwas auf dem schlauch. kann ich [mm] [10]_{11} [/mm] umformen zu [mm] [-1]_{11} [/mm] und damit [mm] \bruch{[1]_{11}}{[10]_{11}}=[-1]_{11} [/mm] oder ist das völliger unsinn??
Vielen Dank!
Gruß
chesn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Sa 28.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Oh, ja.. mein Fehler, das war nur die Steigung... aber
> berechnen wir die erstmal:
>
> In [mm]m=\bruch{3X^2+[3]_{11}}{2Y}[/mm] setze ich den Punkt
> [mm]P=([6]_{11},[5]_{11})[/mm] ein.
>
> => [mm]m=\bruch{[1]_{11}}{[10]_{11}}[/mm] irgendwie fällt mir hier
> jetzt die Bruchrechnung mit Restklassen etwas schwer.
Nun, [mm] $\frac{a}{b} [/mm] = a [mm] \cdot b^{-1}$. [/mm] Du musst also das Inverse bestimmen und multiplizieren.
> Mit Y=m*X+b erhalte ich durch Einsetzen:
>
> [mm][5]_{11}=\bruch{[1]_{11}}{[10]_{11}}*[6]_{11}+b[/mm]
>
> da steh ich etwas auf dem schlauch. kann ich [mm][10]_{11}[/mm]
> umformen zu [mm][-1]_{11}[/mm] und damit
> [mm]\bruch{[1]_{11}}{[10]_{11}}=[-1]_{11}[/mm] oder ist das
> völliger unsinn??
Klar geht das. Schliesslich ist $(-1) [mm] \cdot [/mm] (-1) = 1$ in jedem Koerper und Ring mit Eins.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Sa 28.01.2012 | | Autor: | chesn |
Okay danke erstmal für die super Tipps! :)
Für den Aufgabenteil c) habe ich mir überlegt:
Die die Tangente im Punkt Q ist parallel zur y-Achse, also muss die Steigung im Punkt Q unendlich (bzw. nicht definiert) sein.
Mit:
[mm] m=\bruch{3X^2+[3]_{11}}{2Y}
[/mm]
also in allen Punkten mit [mm] Y=[0]_{11} [/mm] => in allen Punkten [mm] Q=(X,[0]_{11})
[/mm]
Argumentation so okay??
Gruß
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Sa 28.01.2012 | | Autor: | chesn |
Wobei man noch zeigen kann, dass es kein x [mm] \not= [/mm] 0 gibt mit [mm] 0=x^3+[3]_{11}x [/mm] also ex. Nur in Q=(0,0) eine solche Tangente, oder?
Gruß
Chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 So 29.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wobei man noch zeigen kann, dass es kein x [mm]\not=[/mm] 0 gibt mit
> [mm]0=x^3+[3]_{11}x[/mm]
Das bedeutet ja gerade [mm] $x^2 \neq [-3]_{11} [/mm] = [mm] [8]_{11}$ [/mm] fuer alle $x$, und das bedeutet gerade dass 8 kein quadratischer Rest modulo 11 ist. Wenn du das kennst, kannst du dies also leicht mit dem Legendre-Symbol zeigen.
> also ex. Nur in Q=(0,0) eine solche Tangente, oder?
Korrekt.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 So 29.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin chesn,
> Okay danke erstmal für die super Tipps! :)
>
> Für den Aufgabenteil c) habe ich mir überlegt:
>
> Die die Tangente im Punkt Q ist parallel zur y-Achse, also
> muss die Steigung im Punkt Q unendlich (bzw. nicht
> definiert) sein.
> Mit:
>
> [mm]m=\bruch{3X^2+[3]_{11}}{2Y}[/mm]
>
> also in allen Punkten mit [mm]Y=[0]_{11}[/mm] => in allen Punkten
> [mm]Q=(X,[0]_{11})[/mm]
>
> Argumentation so okay??
ja, das ist ok so.
Bei elliptischen Kurven in der Form [mm] $Y^2 [/mm] = f(X)$ sind die Punkte mit senkrechter Tangente immer genau die von der Form $(x, 0)$, entsprechen also den Nullstellen von $f$ im Koerper.
LG Felix
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Kann mir nochmal jemand erklären wie ich zeige, dass für p=11 [mm] P([6]_{11}, [5]_{11}) [/mm] ein glatter Punkt in [mm] C_{11}(\IF_{11}) [/mm] ist?
Muss ich den Punkt für X und Y einsetzen?
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 So 29.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
chesn hat doch genau vorgerechnet, hast du das gelesen. hat er eingesetzt? Was war sein Ergebnis?
Gruss leduart
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