gleich orientierte Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo hab zwar schon die Lösung zu einem Beispiel gegeben kapier es dennoch nicht ganz....
Bsp.: Zeigen Sie: Sei sigma ein inneres Produkt auf [mm] V:=R^{n}. [/mm] Sei B eine
Basis von V, und sei D die zu B gehörige mit dem Verfahren von Gram-Schmidt
orthonormalisierte Basis. Dann sind B und D gleich orientiert.
Satz: 2 Basen [mm] B=(b_{1},....,b_{n}) [/mm] und C = [mm] (c_{1},...,c_{n}) [/mm] des [mm] R^{n} [/mm] heißen gleich orientiert, falls det [mm] (A^{c}_{b}) [/mm] > 0 ist.
[mm] det(A^{c}_{b}) [/mm] = [mm] ((b_{1})_{D},...)
[/mm]
Jetzt haben wir für B = [mm] (b_{1},...,b_{n}) [/mm] gesetzt.
Dann die Orthonormalbasis mittels des Gram Schmidts Verfahrens ausgerechnet. Ab da kapier ichs nicht mehr:
[mm] c_{1} [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] -> [mm] d_{1} [/mm] = [mm] b_{1}/||b_{1}|| b_{1} =||b_{1}|| [/mm] * [mm] d_{1}
[/mm]
[mm] A^{B}_{D} [/mm] = [mm] \pmat{||c_{1}|| & ..........&... \\ 0 & ||c_{2}||&.........
\\ 0 & 0 &.........\\ 0 & 0 & 0&....&||c_{n}|| }
[/mm]
[mm] c_{2} [/mm] = [mm] b_{2} [/mm] - [mm] *d_{1} d_{2} [/mm] = [mm] c_{2}/||c_{2}||
[/mm]
[mm] c_{²} [/mm] = [mm] ||c_{2}|| [/mm] * [mm] d_{2}
[/mm]
[mm] b_{2} [/mm] = [mm] *d_{1} [/mm] + [mm] ||c_{2}|| [/mm] * [mm] d_{2}
[/mm]
det = [mm] ||c_{1}||.....||c_{n}||
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Di 31.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Reaper!
In euer Matrix [mm] $A_D^B$ [/mm] stehen die Koordinaten der Basisvektoren aus $B$ bezüglich der Basisvektoren aus $D$.
Nun gilt aber gemäß des Gram-Schmidt-Verfahrens für alle [mm] $i=1,2,\ldots,n$:
[/mm]
(*) [mm] $c_i=b_i [/mm] - [mm] \sum\limits_{j=1}^{i-1} \langle b_j,d_j \rangle d_j$
[/mm]
(beachte: [mm] $c_i$ [/mm] ist nur eine Hilfsgröße!)
und
(**) [mm] $d_i [/mm] = [mm] \frac{c_i}{\Vert c_i \Vert}$.
[/mm]
Setzt man (**) in (*) ein und löst nach [mm] $b_i$ [/mm] auf, so erhält man:
[mm] $b_i [/mm] = [mm] \Vert c_i \Vert d_i [/mm] + [mm] \sum\limits_{j=1}^{i-1} \langle b_j,d_j \rangle d_j$.
[/mm]
Wie du siehst, ist [mm] $b_i$ [/mm] das [mm] $\Vert c_i \Vert$-fache [/mm] des Basisvektors [mm] $d_i$ [/mm] (daher gehört das [mm] $\Vert c_i \Vert$ [/mm] in die Diagonale!) plus eine Linearkombination von kleineren [mm] $d_j$'s [/mm] (die Koeffizienten sind uninteressant und werden in der Matrix durch Pünktchen angedeutet).
Wichtig ist auch: Es werden für die [mm] $b_i$ [/mm] keine [mm] $d_j$ [/mm] mit $j>i$ benötigt, d.h. unterhalb der Diagonalen stehen nur Nullen.
So, wir sehen also: [mm] $A_D^B$ [/mm] ist eine obere Dreiecksmatrix. Die Determinante einer solchen Matrix ist gleich dem Produkt der Diagonaleinträge, also gleich [mm] $\Vert c_1 \Vert \cdot \Vert c_2 \Vert \cdot \ldots \cdot \Vert c_n \Vert$, [/mm] und dieser Ausdruck ist größer als $0$.
Damit ist alles gezeigt.
Ich hoffe ich konnte dir dies ein bisschen einsichtiger machen. 
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Vielen Dank...bin zwar erst jetzt dazu gekommen es mir anzuschauen, aber danke für die einsichtige Erklärung....Man rechnet sich ja nichts anderes als die Abbildungsmatrix aus und rechnet dann die Determinante aus die zum Glück schon gut aus der Matrix ablesbar ist...
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