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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - gleiche Zufallszahlen
gleiche Zufallszahlen < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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gleiche Zufallszahlen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:02 Sa 27.11.2010
Autor: nitramGuk

Aufgabe
n Personen wählen zufällig eine Zahl zw. 1 und 100 aus.

a) wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die von einer der Personen gewählte Zahl von mind. 1 weiteren Person gewählt wurde?

b) wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 oder mehr gleiche Zahlen gewählt wurden?

Berechne für n=2, 3 und stelle eine allgemeine Formel abhängig von n auf.

Hallo,

für n=2:

Anzahl Auswahlen gesamt: [mm]100^2 = 10.000[/mm]

a) Die Anzahl der Auswahlen, bei denen mind. 1 Person das selbe wie eine bestimmte Person gewählt hat (gehe davon aus, man kann hier "fest" Person #1 wählen als "Bezugspunkt"?) wären 100, also Wahrscheinlichkeit = 1%

für n=2 vermuteich kommt bei b) das selbe raus wie in a)

Bei n=3 wirds schon spannender:

Anzahl Auswahlen gesamt: [mm]100^3[/mm]

a)
Dann würde ich die Anzahl
Person 2 und 3 wählen selbe Zahl wie Person 1 aus: 100
und Person 2 wählt selbe Zahl wie Person 1 aus, Person 3 aber eine Andere: 100*99
und Person 3 wählt selbe Zahl wie Person 1 aus, Person 2 aber eine Andere: 100*99
also 100+100*99+100*99 nehmen.
[mm]\bruch{19900}{100^3}=0.0199[/mm] also 1,99 %

Die 100*99 da ja 1 Auswahl schon in #2 und #3 haben die selbe Zahl mit drin ist.

b)
Dafür käme zu der Anzahl aus a) noch hinzu, wenn #2 und #3 das selbe gewählt haben, aber eine andere Zahl als #1:
100+100*99+100*99+100*99
[mm]\bruch{29800}{100^3}=0.0298[/mm] also 2,98 %

Wäre mir schon eine Hilfe, wenn ihr mir das so weit bestätigen könntet ;-)

Aber da eine allgemeine Formel zu finden?

Ab n=4 wirds ja schon schwierig, evtl habt ihr da einen Ansatz für mich?

Vielen Dank
MfG

        
Bezug
gleiche Zufallszahlen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:22 So 28.11.2010
Autor: nitramGuk

So für Teil b) ist mir was eingefallen.

Bei b) interessiert ja die Anzahl der möglichen Auswahlen, bei denen 2 oder mehr Personen die selbe Zahl gewählt haben.

Also kann man ja (einfach?) von der Gesamtzahl die Anzahl der Auswahlen abziehen, bei denen sicher keine doppelten Zahlen gewählt wurden:

n = Anzahl Personen
[mm]100^n - \bruch{100!}{(100-n)!}[/mm]

Also bei 4 Personen wäre 100*99*98*97 die Anzahl der Auswahlen, bei denen jeder eine andere Zahl hat.

Das Ganze dann noch geteilt durch [mm]100^n[/mm]

Sollte ja so hinkommen?

Btw: da es mir hier ja an sich doch nur um die Kombinatorik geht, kann das jemand bitte verschieben?
Entweder nach:
Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule
oder
Kombinatorik < Stochastik < Hochschule

Die Aufgabe stammt von der Uni, dachte nur weil sie vermutlich relativ einfach ist und mit Schulstoff gelöst werden könnte, besser in Schulbereich?

Bezug
                
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gleiche Zufallszahlen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:27 Mi 01.12.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
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gleiche Zufallszahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:47 So 28.11.2010
Autor: nitramGuk

zu a)

[mm]1- (\bruch{99}{100})^n[/mm]

Bezug
        
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gleiche Zufallszahlen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:21 Mi 01.12.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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