gleichgradige integrierbarkeit < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] (\Omega, \mathcal{A}, \mu) [/mm] ein Maßraum, [mm] (f_{n})_{n\in\IN}\subset L^{1}(\Omega) [/mm] eine Folge von Funktionen, die [mm] \mu-fast [/mm] überall gegen [mm] f\in L^{1}(\Omega) [/mm] konvergiert.
Zu zeigen: Ist die Folge [mm] (f_{n})_{n\in\IN} [/mm] gleichgradig integrierbar, so konvergiert [mm] f_{n} [/mm] in der [mm] L^{1}-Norm [/mm] gegen f |
Hallo!
Gleichgradige Integrierbarkeit bedeutet ja:
(1) für alle [mm] (E_{k})_{k\in\IN}\subset\mathcal{A} [/mm] mit [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\mu(E_{k})=0 [/mm] gilt [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} sup\{\integral_{E_{k}}|f_{n}|d\mu | n\in \IN\}=0
[/mm]
(2) für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] existiert [mm] E\in\mathcal{A} [/mm] mit [mm] \mu(E)<\infty [/mm] derart, dass [mm] sup\{\integral_{E^{C}}|f_{n}|d\mu | n\in\IN\}\le\varepsilon
[/mm]
Nun ist zu zeigen: [mm] ||f_{n}-f||_{1}\to [/mm] 0 für [mm] n\to\infty
[/mm]
Also [mm] \integral_{\Omega}|f_{n}-f|d\mu\to [/mm] 0
Das kann doch so schwer eigentlich garnicht sein...
Aber irgendwie sehe ich nicht, wie man das nun zeigen soll.
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Huhu,
überlege dir, mit [mm] (f_n) [/mm] gleichgradig integrierbar ist auch [mm] $(f_n) \cup [/mm] {f}$ gleichgradig integrierbar
Nun betrachte mal:
$ [mm] \integral_{\Omega}|f_{n}-f|d\mu [/mm] = [mm] \integral_{|f_n - f| \le \varepsilon}|f_{n}-f|d\mu [/mm] + [mm] \integral_{|f_n - f| > \varepsilon}|f_{n}-f|d\mu$
[/mm]
Das erste Integral kannst du abschätzen (wodurch?), im zweiten wende Dreiecksungleichung und gleichgradige Integrierbarkeit der [mm] f_n [/mm] und f an.
MFG,
Gono.
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