gleichm Konverg Funktionsreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Di 09.05.2006 | | Autor: | DuAK007 |
| Aufgabe | Untersuche die folgende Funktionsreihe auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{nx^{2}}{n^{3}+x^{3}}, [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1] |
Ich habe keine richtige (gut ausgearbeitete Lösung)... Vielleicht könnt ihr das mit mir erarbeiten?
Es ist: [mm] \summe_{n=1}^{\infty} f_{n}(x).
[/mm]
[mm] f_{n}(0)=0
[/mm]
[mm] f_{n}(1)= \bruch{n}{n^{3}+1}
[/mm]
Und der Limes von [mm] f_{n}(1) [/mm] ist auch 0: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^2}
[/mm]
Das ist zwar die richtige Richtung, aber es ist nicht wirklich eine Lösung zu erkennen. Danke für eure Hilfe
Und nun der total nervende Satz:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Di 09.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Untersuche die folgende Funktionsreihe auf punktweise und
> gleichmäßige Konvergenz:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{nx^{2}}{n^{3}+x^{3}},[/mm] x [mm]\in[/mm]
> [0,1]
> Ich habe keine richtige (gut ausgearbeitete Lösung)...
> Vielleicht könnt ihr das mit mir erarbeiten?
Schonmal vorab: Die Reihe ist absolut konvergent. Du kannst jeden Summanden abschaetzen und das Majorantenkriterium benutzen (und zwar mit der konvergenten Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$). [/mm] Die Abschaetzung zu finden ueberlass ich dir jetzt mal.
Und nun die Preissfrage: Warum ist die Funktionenreihe damit gleichmaessig konvergent?
LG Felix
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