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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 So 25.09.2011 | | Autor: | physicus |
Hallo Forum
Ich habe eine Frage zu folgendem Thema. Wenn ich eine Familie von Funktionen habe:
$\ [mm] A_\alpha [/mm] : K [mm] \subset \IR \to [/mm] L(X) $
wobei $\ K $ eine kompakte Teilmenge von $\ [mm] \IR [/mm] $ ist und $\ L(X) $ der Raum aller beschränkten (stetigen) Operatoren eines Banachraumes $\ X $.
Wenn man sagt, $\ [mm] (A_\alpha)_{\alpha \in J} [/mm] $ sei gleichmässig beschränkt auf $\ [mm] \IR [/mm] $, dann heisst das doch dies:
$\ [mm] sup_{k\in K} \parallel A_\alpha [/mm] (k) [mm] \parallel_{L(X)} [/mm] < [mm] \infty [/mm] $
Stimmt meine Interpretation ?
Die zweite Fragen, wenn ich weiss, dass die $\ [mm] A_\alpha [/mm] $'s alle stetig sind, dann sind sie, weil $\ K $ kompakt, punktweise beschränkt
$\ [mm] sup_{k\in K} \parallel A_\alpha(k)x \parallel_X [/mm] < [mm] \infty \forall x\in [/mm] X$
und daher (Prinzip der gleichmässigen Beschränktheit) gleichmässig beschränkt im oberen Sinne. Richtig?
Ich danke wie immer für eine Antwort / Korrektur
Gruss
physicus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:20 Mo 26.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Forum
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> Ich habe eine Frage zu folgendem Thema. Wenn ich eine
> Familie von Funktionen habe:
>
> [mm]\ A_\alpha : K \subset \IR \to L(X)[/mm]
>
> wobei [mm]\ K[/mm] eine kompakte Teilmenge von [mm]\ \IR[/mm] ist und [mm]\ L(X)[/mm]
> der Raum aller beschränkten (stetigen) Operatoren eines
> Banachraumes [mm]\ X [/mm].
> Wenn man sagt, [mm]\ (A_\alpha)_{\alpha \in J}[/mm] sei
> gleichmässig beschränkt auf [mm]\ \IR [/mm], dann heisst das doch
> dies:
>
> [mm]\ sup_{k\in K} \parallel A_\alpha (k) \parallel_{L(X)} < \infty[/mm]
>
> Stimmt meine Interpretation ?
Nein. Richtig: es gibt ein c [mm] \ge [/mm] 0:
[mm] \parallel A_\alpha \parallel_{L(X)} \le [/mm] c für alle [mm] \alpha \in [/mm] J.
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> Die zweite Fragen, wenn ich weiss, dass die [mm]\ A_\alpha [/mm]'s
> alle stetig sind, dann sind sie, weil [mm]\ K[/mm] kompakt,
> punktweise beschränkt
>
> [mm]\ sup_{k\in K} \parallel A_\alpha(k)x \parallel_X < \infty \forall x\in X[/mm]
>
> und daher (Prinzip der gleichmässigen Beschränktheit)
> gleichmässig beschränkt im oberen Sinne. Richtig?
Ja
FRED
>
> Ich danke wie immer für eine Antwort / Korrektur
>
> Gruss
>
> physicus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Mo 26.09.2011 | | Autor: | physicus |
Hallo Fred
Danke für die Antwort. Zur folgenden Antwort stellt sich bei mir aber eine Anschlussfrage:
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> Nein. Richtig: es gibt ein c [mm]\ge[/mm] 0:
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> [mm]\parallel A_\alpha \parallel_{L(X)} \le c[/mm] für alle
> [mm]\alpha \in[/mm] J.
>
>
[mm]\parallel A_\alpha \parallel_{L(X)}=\sup_{\parallel x \parallel_X \le 1} \parallel A_\alpha(k)x \parallel_X \le c[/mm]
Müsste bei dir nicht stehen $\ [mm] A_\alpha(k) [/mm] $. Das k ist doch wichtig, weil erst dadurch ist es ja ein Element in $\ L(X)$. Und wieso sagt man dann gleichmässig stetig auf $\ [mm] \IR [/mm] $ ? Die Begriffswahl verwirrt mich hier, wenn man nicht ein Supremum über Elemente in $\ [mm] \IR [/mm] $ nimmt.
Wieder Danke für deine Bemühungen!
Gruss
physicus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Mo 26.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred
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> Danke für die Antwort. Zur folgenden Antwort stellt sich
> bei mir aber eine Anschlussfrage:
>
> >
> >
> > Nein. Richtig: es gibt ein c [mm]\ge[/mm] 0:
> >
> > [mm]\parallel A_\alpha \parallel_{L(X)} \le c[/mm] für alle
> > [mm]\alpha \in[/mm] J.
> >
> >
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> [mm]\parallel A_\alpha \parallel_{L(X)}=\sup_{\parallel x \parallel_X \le 1} \parallel A_\alpha(k)x \parallel_X \le c[/mm]
>
> Müsste bei dir nicht stehen [mm]\ A_\alpha(k) [/mm]. Das k ist doch
> wichtig, weil erst dadurch ist es ja ein Element in [mm]\ L(X)[/mm].
Ja Du hast recht. Das hatte ich übersehen. Es muß lauten:
es gibt ein c $ [mm] \ge [/mm] $ 0:
$ [mm] \parallel A_\alpha(k) \parallel_{L(X)} \le [/mm] c $ für alle $ [mm] \alpha \in [/mm] $ J und alle k [mm] \in [/mm] K.
> Und wieso sagt man dann gleichmässig stetig auf [mm]\ \IR[/mm] ?
Die Frage verstehe ich nicht
FRED
> Die Begriffswahl verwirrt mich hier, wenn man nicht ein
> Supremum über Elemente in [mm]\ \IR[/mm] nimmt.
>
> Wieder Danke für deine Bemühungen!
>
> Gruss
>
> physicus
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