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gleichmäßig stetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:03 Fr 01.03.2019
Autor: rubi

Aufgabe
Prüfe die Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit [mm] f(x)=\bruch{x}{x^2+1} [/mm] auf gleichmäßige Stetigkeit.

Hallo zusammen,

gemäß des Schaubildes würde ich eine gleichmäßige Stetigkeit von f unterstellen, da die Steigung der Funktion nicht unendlich groß werden kann.

Meine Prüfung sieht bisher gemäß der Definition der glm. Stetigkeit so aus:

|f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] = [mm] |\bruch{x}{x^2+1}-\bruch{x_0}{x_0^2+1}| [/mm]

= [mm] |\bruch{x*x_0^2-x_0*x^2+x-x_0}{(x^2+1)(x_0^2+1)}| [/mm]

[mm] <=\bruch{|x*x_0|*|x-x_0|+|x-x_0|}{(x^2+1)(x_0^2+1)} [/mm]

Da [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] gelten soll schätze ich nun wie folgt ab:

[mm] ...<=\bruch{|x*x_0|*\delta+\delta}{(x^2+1)(x_0^2+1)} [/mm]

[mm] <=\delta*(1+|x|*|x_0|) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]

Nun müsste das [mm] \delta [/mm] unabhängig von x und [mm] x_0 [/mm] und nur von [mm] \varepsilon [/mm] dargestellt werden können, damit glm. Stetigkeit vorliegt.

Kann mir jemand sagen, wie man diese Abschätzung fertigstellt, oder habe ich zwischendurch etwas falsch gemacht ?

Danke für eure Antworten.

Viele Grüße
Rubi

        
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gleichmäßig stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:09 Fr 01.03.2019
Autor: ChopSuey

Hallo,

es gilt: Ist $f:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] stetig und auf $(a,b)$ differenzierbar und die Ableitung $f': (a,b) [mm] \to \IR$ [/mm] beschränkt, so ist $f$ Lipschitz-stetig mit Lipschitzkonstante $L = [mm] \sup_{x \in (a,b)} \vert [/mm] f'(x) [mm] \vert [/mm] $

Weiter gilt: Jede Lipschitzstetige Funktion ist gleichmäßig stetig.

Vielleicht hilft dir das.

LG,
ChopSuey



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gleichmäßig stetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:33 Fr 01.03.2019
Autor: rubi

Hallo ChopSuey,

danke für die Rückmeldung.

Darf ich die Antwort so verstehen, dass ich die glm. Stetigkeit auf meinem Wege gar nicht zeigen kann sondern über die Lipschitzstetigkeit gehen muss ?

Falls die Lipschitzstetigkeit nur der einfachere Weg ist, wäre ich trotzdem dankbar für einen Hinweis, wie ich es mit meiner Methode lösen kann.

Viele Grüße
Rubi


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gleichmäßig stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:18 Sa 02.03.2019
Autor: leduart

Hallo
du hast ja den richtigen Satz schon verwendet_"da die Steigung der Funktion nicht unendlich groß werden kann. " also gib ne Schranke für f' an und benutze [mm] f(x)=f'(x_0)*(x-x_0)+O((x-x_0)^2) [/mm]
Gruß leduart

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gleichmäßig stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:33 Mo 04.03.2019
Autor: fred97


> Hallo ChopSuey,
>
> danke für die Rückmeldung.
>
> Darf ich die Antwort so verstehen, dass ich die glm.
> Stetigkeit auf meinem Wege gar nicht zeigen kann sondern
> über die Lipschitzstetigkeit gehen muss ?

Nein, das musst Du nicht.

Mit Deinem Weg bekommst Du , bei obiger Funktion,  beides, wenn man sich geschickt anstellt:

Zunächst ist

(*)   [mm] $\frac{|x|}{x^2+1} \le \frac{1}{2}$ [/mm] für alle x.

Denn

[mm] $\frac{|x|}{x^2+1} \le \frac{1}{2} \gdw [/mm] 2|x| [mm] \le x^2+1 \gdw [/mm]  0 [mm] \le x^2-2|x|+1=(|x|-1)^2$. [/mm]

Nun hattest Du

$|f(x) -  [mm] f(x_0)| \le \frac{|x-x_0|(|x||x_0|+1)}{(x^2+1))(x_0^2+1)}=|x-x_0|(\frac{|x|}{x^2+1} \cdot \frac{|x_0|}{x_0^2+1}+\frac{1}{(x^2+1)(x_0^2+1)})$. [/mm]


Wegen [mm] \frac{1}{(x^2+1)(x_0^2+1)} \le [/mm] 1 und (*) bekommen wir

[mm] $|f(x)-f(x_0)| \le |x-x_0|(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} +1)=\frac{5}{4}|x-x_0| [/mm] $.



Einfacher und mit einer besseren Abschätzung geht es, wenn man den Mittelwertsatz anwendet:

Es is $|f'(x)|= [mm] \frac{|1-x^2|}{(x^2+1)^2} \le \frac{x^2+1}{(x^2+1)^2} =\frac{1}{(x^2+1)} \le [/mm] 1.$

Also:

[mm] $|f(x)-f(x_0)| \le |x-x_0|.$ [/mm]



>  
> Falls die Lipschitzstetigkeit nur der einfachere Weg ist,
> wäre ich trotzdem dankbar für einen Hinweis, wie ich es
> mit meiner Methode lösen kann.
>  
> Viele Grüße
>  Rubi
>  


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gleichmäßig stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:45 Sa 02.03.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Nun müsste das [mm]\delta[/mm] unabhängig von x und [mm]x_0[/mm] und nur
> von [mm]\varepsilon[/mm] dargestellt werden können, damit glm.
> Stetigkeit vorliegt.

das kann man auch, aber nur bis zu deiner letzten Ungleichung. Dort hast du zu grob abgeschätzt, so dass danach keine Abschätzung mehr zu einer Unabhängigkeit von [mm] x_0 [/mm] und x führt.
Im Allgemeinen ist es nicht immer einfach möglich, einen Ausdruck so abzuschätzen, dass er kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] wird, obwohl es bei glm Stetigkeit ja gehen muss. Manchmal sind alternative Wege da effektiver.

Bei der Aufgabe geht es dennoch recht einfach.

Nehmen wir mal den vorletzten Ausdruck:
[mm] $\bruch{|x\cdot{}x_0|\cdot{}\delta+\delta}{(x^2+1)(x_0^2+1)} [/mm] = [mm] \bruch{|x|}{(x^2+1)}\bruch{|x_0|}{(x_0^2+1)} \delta$ [/mm]

Nun begründe mal, dass der Faktor [mm] $\bruch{|x|}{(x^2+1)}$ [/mm]  beschränkt ist (durch was ist gar nicht so wichtig), indem du [mm] $\lim_{x\to 0} \bruch{|x|}{(x^2+1)}$ [/mm] und [mm] $\lim_{x\to \infty} \bruch{|x|}{(x^2+1)}$ [/mm] betrachtest.
Warum folgt daraus die Beschränktheit des Ausdrucks?

Und so kannst du das ganz ohne Ableitung etc begründen.

Gruß,
Gono

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