gleichmäßig stetig? < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:15 Do 19.02.2009 | | Autor: | Achtzig |
| Aufgabe | | Exponentialfunktion gleichmäßig stetig? |
Hallo!
Habe gestern meine Analysis Klausur geschrieben und hab ne kleine Rückfrage dazu, die Exponentialfunktion ist stetig aber nicht gleichmäßig stetig? oder irre ich mich?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:20 Do 19.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Es gilt folgender Satz:
ist f: [a,b] --> [mm] \IR [/mm] stetig, so ist f auf [a,b] gleichmäßig stetig
Die Exponentialfunktion ist somit auf jedem kompakten Intervall glm. stetig, aber auf [mm] \IR [/mm] ist sie z.B. nicht glm. stetig.
Ist Dir klar warum ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:24 Do 19.02.2009 | | Autor: | Achtzig |
ja danke, kam mir nämlich schon so komsich vor, :(
naja man sollte eine stetige fkt angeben, die aber auf dem Intervall [1,2] nicht gleichmäßig stetig ist. kannst du mir denn dann nen beispiel geben? komme irgendwie nicht drauf.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:27 Do 19.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> ja danke, kam mir nämlich schon so komsich vor, :(
> naja man sollte eine stetige fkt angeben, die aber auf dem
> Intervall [1,2] nicht gleichmäßig stetig ist
Wie bitte ????? Eine solche Funktion gibt es nicht !! Nochmal: jede auf einem kompakten Intervall stetige Fkt. ist dort glm. stetig !!!
FRED
>. kannst du mir
> denn dann nen beispiel geben? komme irgendwie nicht drauf.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Do 19.02.2009 | | Autor: | Achtzig |
ja richtig, deshalb bin ich auch so stutzig geworden. ich glaub ich hab die aufgabe nicht mehr ganz im kopf.... naja dann heißt es nur abwarten und tee trinken ne? :)
aber eine andere aufgabe:
f ist diffbar mit f'(x)=g(x) und g war stetig!
Dann beweise, dass es eine Zahl C gibt:
|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] |x-y|*C
Meine Lösung sah so aus: ich habe nach C umgestellt und hatte ja dann auf der linken Seite den Diffquotienten von f stehen und da ja die Ableitung g(x) war, stand da: g(x) [mm] \le [/mm] C
und da g stetig war und es sich um einen kompaktes Intervall handelte und stetige Fkt in kompakten Intervallen ja ihr Maximum annehmen, musste es ein solches C geben oder lag ich da auch falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:02 Do 19.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> ja richtig, deshalb bin ich auch so stutzig geworden. ich
> glaub ich hab die aufgabe nicht mehr ganz im kopf.... naja
> dann heißt es nur abwarten und tee trinken ne? :)
>
> aber eine andere aufgabe:
> f ist diffbar mit f'(x)=g(x) und g war stetig!
> Dann beweise, dass es eine Zahl C gibt:
> |f(x)-f(y)| [mm]\le[/mm] |x-y|*C
>
>
> Meine Lösung sah so aus: ich habe nach C umgestellt und
> hatte ja dann auf der linken Seite den Diffquotienten von f
> stehen und da ja die Ableitung g(x) war, stand da: g(x) [mm]\le[/mm]
> C
> und da g stetig war und es sich um einen kompaktes
> Intervall handelte und stetige Fkt in kompakten Intervallen
> ja ihr Maximum annehmen, musste es ein solches C geben oder
> lag ich da auch falsch?
Na ja .... Ohne den Mittelwertsatz kommst Du hier nicht aus !
Ich gehe davon aus, dass f auf [a,b] def. ist. Mit g ist dann auch |g| auf [a,b] stetig, also ex. ein c [mm] \ge [/mm] 0 mit:
|g(x)| [mm] \le [/mm] c für jedse x in [a,b]
Seien x und y in [a,b]. Nach dem Mittelwertsatz ex. ein t zwischen x und y mit
$f(y) -f(x) = f'(t)(y-x) = g(t)(y-x)$.
Es folgt:
$ |f(y)-f(x)| = |g't)| |y-x| [mm] \le [/mm] c|y-x|$
Merke für Dein weiteres Studium: wenn Du die Differenz zweier Funktionswerte siehst , denke an den Mittelwertsatz. Meist lohnt es sich !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:05 Do 19.02.2009 | | Autor: | Achtzig |
hm okay danke dir! wird dann glaub ganz schön eng :(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Do 19.02.2009 | | Autor: | Achtzig |
Es gab auch eine Aufgabe, dort musste man zeigen, dass die Fkt in dem kompakten Intervall nur eine Nullstelle besitzt. Reicht es dort zu zeigen, dass die Fkt in dem gesamten Intervall STRENG monoton steigend ist? Also die 1. Ableitung >0 im gesamten Intervall.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:48 Do 19.02.2009 | | Autor: | Achtzig |
also vorher hab ich schon mit ZWS gezeigt, dass es eine Nullstelle gibt, jetzt bleib nur noch zu zeigen, dass es GENAU eine ist
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> Es gab auch eine Aufgabe, dort musste man zeigen, dass die
> Fkt in dem kompakten Intervall nur eine Nullstelle besitzt.
> Reicht es dort zu zeigen, dass die Fkt in dem gesamten
> Intervall STRENG monoton steigend ist? Also die 1.
> Ableitung >0 im gesamten Intervall.
>
Hallo,
ich meine, daß man Dir ohne die exakte Aufgabenstellung schlecht weiterhelfen kann.
Die strenge Monotonie wird bei der von mir vermuteten Aufgabenstellung eine Rolle spielen, ebenso wie der MWS, und wenn Du auch nachweisen mußtest, daß überhaupt eine Nullstelle existiert, der ZWS.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Do 19.02.2009 | | Autor: | Achtzig |
also ich weiß nicht mehr genau wie die funktion lautet, aber das intervall war von [0,1] und dann konnte man 0 und 1 einsetzetn und hatte einmal einen wert <0 und einen >0, und da die fkt stetig war, existiert ja eine Stelle x mit f(x) =0 und dass war in a zu zeigen, dass es eine Nullstelle gibt. und Aufgabe b war jetzt zu zeigen, dass die Fkt GENAU EINE Nullstelle besitzt und dann hab ich die Ableitung gebildet und die war im gesamten Intervall >0 und somt STRENG monoton steigend. somit kann es ja nur eine Nullstelle geben oder reicht die Argumentation dort nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:55 Do 19.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> also ich weiß nicht mehr genau wie die funktion lautet,
> aber das intervall war von [0,1] und dann konnte man 0 und
> 1 einsetzetn und hatte einmal einen wert <0 und einen >0,
> und da die fkt stetig war, existiert ja eine Stelle x mit
> f(x) =0 und dass war in a zu zeigen, dass es eine
> Nullstelle gibt. und Aufgabe b war jetzt zu zeigen, dass
> die Fkt GENAU EINE Nullstelle besitzt und dann hab ich die
> Ableitung gebildet und die war im gesamten Intervall >0 und
> somt STRENG monoton steigend. somit kann es ja nur eine
> Nullstelle geben oder reicht die Argumentation dort nicht?
Doch das reicht
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 Do 19.02.2009 | | Autor: | Achtzig |
Danke Danke!
endlich mal eine gute Nachricht.. naja mal abwarten, jetzt muss ich erstmal lina irgendwie lernen, danke!!
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