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Forum "Stetigkeit" - gleichmäßig stetig,Abschätzung
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gleichmäßig stetig,Abschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:44 Mo 15.12.2014
Autor: sissile

Aufgabe
Sei f: [mm] \IR_{+} \to \IR [/mm] eine gleichmäßig stetige Funktion.
Man zeige: Es gibt eine Konstante M>0, so dass
|f(x)| [mm] \le [/mm] M (1 + |x|) für alle x [mm] \in \IR_{+} [/mm]

Hallo zusammen,
Ein Bsp aus dem Forster Analysis 1, wo mir jeglicher Ansatz fehlt..

f ist gleichmäßig stetig:
[mm] \forall \epsilon>0 \exists \delta: \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR_{+}: [/mm] |x-y|< [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x)-f(y)| < [mm] \epsilon [/mm]

Z.B die Funktion: sqrt: [mm] \IR_{+} \to \IR [/mm] , [mm] x\mapsto \sqrt{x} [/mm]
Hier kann ich z.B M:= 1 >0 wählen

Die Idee, dass es mit Lipschitz-stetigkeit zu tun hat, hab ich auch schnell verworfen, da ja die obige Funktion gleichmäßig stetig aber nicht Lipschitz-stetig ist.

Hier soll keine Ableitung verwendet werden, da das erst später kommt im Buch.
Würde mich über Tipps freuen ;))
LG,
sissi

        
Bezug
gleichmäßig stetig,Abschätzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:45 Mo 15.12.2014
Autor: Marcel

Hallo Sissile,

> Sei f: [mm]\IR_{+} \to \IR[/mm] eine gleichmäßig stetige Funktion.
> Man zeige: Es gibt eine Konstante M>0, so dass
> |f(x)| [mm]\le[/mm] M (1 + |x|) für alle x [mm]\in \IR_{+}[/mm]
>  Hallo
> zusammen,
>  Ein Bsp aus dem Forster Analysis 1, wo mir jeglicher
> Ansatz fehlt..
>  
> f ist gleichmäßig stetig:
>  [mm]\forall \epsilon>0 \exists \delta: \forall[/mm] x,y [mm]\in \IR_{+}:[/mm]
> |x-y|< [mm]\delta \Rightarrow[/mm] |f(x)-f(y)| < [mm]\epsilon[/mm]
>  
> Z.B die Funktion: sqrt: [mm]\IR_{+} \to \IR[/mm] , [mm]x\mapsto \sqrt{x}[/mm]
>  
> Hier kann ich z.B M:= 1 >0 wählen
>  
> Die Idee, dass es mit Lipschitz-stetigkeit zu tun hat, hab
> ich auch schnell verworfen, da ja die obige Funktion
> gleichmäßig stetig aber nicht Lipschitz-stetig ist.
>  
> Hier soll keine Ableitung verwendet werden, da das erst
> später kommt im Buch.

zum letzten Satz: Du kannst i.a. keine Ableitung verwenden, weil nirgendwo
steht, dass [mm] $f\,$ [/mm] differenzierbar wäre - und da ist es egal, wann das im
Buch kommt!

P.S. Warum da

   $|f(x)| [mm] \le M*(1+\red{|\,}x\red{\,|})$ [/mm]

steht, erschließt sich mir auch nicht, da kann man direkt:

    $|f(x)| [mm] \le [/mm] M*(1+x)$

wegen $x [mm] \in \IR_+$ [/mm] schreiben!

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
gleichmäßig stetig,Abschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:54 Di 16.12.2014
Autor: Marcel

Hallo Sissile,

> Sei f: [mm]\IR_{+} \to \IR[/mm] eine gleichmäßig stetige Funktion.
> Man zeige: Es gibt eine Konstante M>0, so dass
> |f(x)| [mm]\le[/mm] M (1 + |x|) für alle x [mm]\in \IR_{+}[/mm]
>  Hallo
> zusammen,
>  Ein Bsp aus dem Forster Analysis 1, wo mir jeglicher
> Ansatz fehlt..
>  
> f ist gleichmäßig stetig:
>  [mm]\forall \epsilon>0 \exists \delta: \forall[/mm] x,y [mm]\in \IR_{+}:[/mm]
> |x-y|< [mm]\delta \Rightarrow[/mm] |f(x)-f(y)| < [mm]\epsilon[/mm]
>  
> Z.B die Funktion: sqrt: [mm]\IR_{+} \to \IR[/mm] , [mm]x\mapsto \sqrt{x}[/mm]
>  
> Hier kann ich z.B M:= 1 >0 wählen
>  
> Die Idee, dass es mit Lipschitz-stetigkeit zu tun hat, hab
> ich auch schnell verworfen, da ja die obige Funktion
> gleichmäßig stetig aber nicht Lipschitz-stetig ist.
>  
> Hier soll keine Ableitung verwendet werden, da das erst
> später kommt im Buch.
>  Würde mich über Tipps freuen ;))

sei [mm] $\epsilon:=1\,,$ [/mm] dann ist [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Es gibt also ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ mit

    [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in \IR_+$: [/mm] $|x-y| < [mm] \delta$ [/mm] liefert schon $|f(x)-f(y)| < [mm] 1=\epsilon\,,$ [/mm]

o.E. sei [mm] $\delta \le 1\,.$ [/mm]

Es folgt für alle $x [mm] \in \IR_+$ [/mm]

    $|f(x)| [mm] \le |f(x)-f(1)|+|f(1)|\,.$ [/mm]

Das Intervall $[1,x]$ oder $[x,1]$ (je nachdem, ob $x > 1$ oder $x [mm] \le [/mm] 1$ ist)
enthält sicher [mm] $\lfloor |x-1|/\delta\rfloor+1$ [/mm] Punkte, die alle [mm] $\delta$-nahe [/mm] beieinander liegen.

Mit der (verallgemeinerten) Dreiecksungleichung sollte man dann auf sowas
wie

    $|f(x)| [mm] \le \frac{1}{\delta}*x+|f(1)|$ [/mm]

für alle $x [mm] \in \IR_+$ [/mm] kommen. (Hinweis: Sei $x > [mm] 1\,,$ [/mm] und liegen die Werte

    [mm] $x_0=1, x_1,...,x_N=x$ [/mm]

alle [mm] $\delta$-nahe [/mm] beieinander, so schreibe

    [mm] $f(x)=f(x_0)-\red{(}f(x_0)-f(x_1)\;+\;f(x_1)-f(x_2)\;+\;...\;+\;f(x_{N-2})-f(x_{N-1})\;+\;f(x_{N-1})-f(x_N)\red{)}$ [/mm]

Dann wende die Dreiecksungleichung an. Und wichtig ist halt, dass [mm] $N\,$ [/mm] mit
[mm] $|x|/\delta$ [/mm] abgeschätzt werden kann! Und zur Erinnerung: Wir hatten [mm] $\epsilon=1$!) [/mm]

Setzt man [mm] $M:=\max\{1/\delta,|f(1)|\},$ [/mm] so folgt

    $|f(x)| [mm] \le M*x+M=M*(1+x)\,.$ [/mm]

Mir ist hier nur noch nicht so klar, warum man $f [mm] \colon \IR_+ \to \IR$ [/mm] braucht,
sofern man ja $|f(x)| [mm] \le M*(1+\red{|}x\red{|})$ [/mm] schreiben wollte. Vielleicht
mache ich ja was falsch?

Aber ich denke, die Idee mit "Zwischenwerten zwischen x und einer festen
reellen Zahl aufzufüllen, die alle [mm] $\delta$-nahe [/mm] beieinander liegen", ist das, was
zum Ziel führt.

Oben kann es sein, dass ich an der ein oder anderen Stelle etwas geschludert
habe - die Feinheiten, das zu erkennen und zu korrigieren, überlasse ich
mal Dir. ;-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
gleichmäßig stetig,Abschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:49 Di 16.12.2014
Autor: sissile

Hallo Marcel,

Vilen Dank für deine Hilfe, die Idee mit den Zwischenwerten ist gut!

[mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR_{+}:|f(x)|\le|f(x)-f(1)|+|f(1)|$ [/mm]

Ang x>1, füge zwischen x und 1 Zwischenschritte [mm] x_0=1,.., x_N=x [/mm] ein sodass die Zwischenschritte [mm] \delta/2 [/mm] entfernt sind:
[mm] |x_i [/mm] - [mm] x_{i+1}| [/mm] = [mm] \delta/2 [/mm]  für [mm] 0\le [/mm] i [mm] \le [/mm] N+1
(*) Ich hab gedacht ich wähle [mm] \delta/2 [/mm] so dass ich die gleichmäßige Stetigkeit anwenden kann, was ich ja wenn ich die Abstände [mm] \delta [/mm] nicht kann, denn dann passt [mm] |x_i [/mm] - [mm] x_{i+1}| [/mm] = [mm] \delta [/mm] < [mm] \delta [/mm] nicht)

[mm] $|f(x)-f(1)|+|f(1)|\le|f(x_0)-[f(x_0)-f(x_1) [/mm] + [mm] f(x_1)- ...+f(x_{N-1})-f(x_N)]-f(1)|+ [/mm] |f(1)|$
[mm] $\le|f(x_0)-f(1)|+|f(x_0)-f(x_1)|+|f(x_1)-f(x_2)|+...+|f(x_{N-1}) [/mm] - [mm] f(x_N)|<|f(1)-f(1)|+N*1+|f(1)|=N+ [/mm] |f(1)|$


Es gilt: [mm] $\frac{x-1}{\delta/2}-1=N$ [/mm]
Die $-1$ da N bei Index 0 zu zählen beginnt.
[mm] $N=\frac{x-1}{\delta/2}-1<\frac{x-1}{\delta/2}=\frac{2(x-1)}{\delta} <\frac{2x}{\delta}$ [/mm]

Also$|f(x)|< N+|f(1)|< [mm] \frac{2x}{\delta}+|f(1)| [/mm] $

[mm] M:=\max\{2/\delta,|f(1)|\}, [/mm]  so folgt

    $ |f(x)| < [mm] M\cdot{}x+M=M\cdot{}(1+x)\,. [/mm] $

Wenn [mm] 0\le [/mm] x < 1 ist kann man analog argumentieren.

LG,
sissi

Bezug
                        
Bezug
gleichmäßig stetig,Abschätzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:25 Di 16.12.2014
Autor: Marcel

Hallo Sissi,

> Hallo Marcel,
>  
> Vilen Dank für deine Hilfe, die Idee mit den
> Zwischenwerten ist gut!
>  
> [mm]\forall x \in \IR_{+}:|f(x)|\le|f(x)-f(1)|+|f(1)|[/mm]
>  
> Ang x>1, füge zwischen x und 1 Zwischenschritte [mm]x_0=1,.., x_N=x[/mm]
> ein sodass die Zwischenschritte [mm]\delta/2[/mm] entfernt sind:
> [mm]|x_i[/mm] - [mm]x_{i+1}|[/mm] = [mm]\delta/2[/mm]  für [mm]0\le[/mm] i [mm]\le[/mm] N+1
>  (*) Ich hab gedacht ich wähle [mm]\delta/2[/mm] so dass ich die
> gleichmäßige Stetigkeit anwenden kann, was ich ja wenn
> ich die Abstände [mm]\delta[/mm] nicht kann, denn dann passt [mm]|x_i[/mm] -
> [mm]x_{i+1}|[/mm] = [mm]\delta[/mm] < [mm]\delta[/mm] nicht)

ja, das ist okay, ich glaube aber, dass das auch anders gepasst hätte (man
hätte etwas *frickeln* müssen).
Bzw. auf jeden Fall hätte meine Variante gepasst, wenn man die glm.
Stetigkeit äquivalent zu

    $|x-y| [mm] \le \delta$ $\Rightarrow$ [/mm] $|f(x)-f(y)| [mm] \le \epsilon$ [/mm]

umschreibt. Tatsächlich kann man sagen, dass die folgenden Varianten alle
äquivalent sind, wenn $f [mm] \colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Y$ eine Abbildung zwischen metrischen
Räumen [mm] $(X,d_X)$ [/mm] und [mm] $(Y,d_Y)$ [/mm] ist:
Die bekannte Formulierung der glm. Stetigkeit:

[mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0$ [mm] $\exists$ $\delta=\delta_\epsilon [/mm] > 0$: [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] X$:

    [mm] $d_X(x,y) \red{\,<\,} \delta$ $\Rightarrow$ $d_Y(f(x),f(y)) \green{\,<\,} \epsilon\$ [/mm]

ist äquivalent zu jeder Variante, wo man [mm] $(\red{\,<\,},\green{\,<\,})$ [/mm] durch

    [mm] $(\red{\,<\,},\green{\,\le\,}),$ [/mm]

    [mm] $(\red{\,\le\,},\green{\,<\,}),$ [/mm]

bzw.

    [mm] $(\red{\,\le\,},\green{\,\le\,})$ [/mm]

ersetzt.

(Als Bsp.: Ausformuliert heißt die letzte Variante:
[mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0$ [mm] $\exists$ $\delta=\delta_\epsilon [/mm] > 0$: [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] X$:

    [mm] $d_X(x,y) \red{\,\le\,} \delta$ $\Rightarrow$ $d_Y(f(x),f(y)) \green{\,\le\,} \epsilon\$.) [/mm]

Daher findest Du auch mal die eine, mal die andere Variante in der
Definition der glm. Stetigkeit!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                        
Bezug
gleichmäßig stetig,Abschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:49 Di 16.12.2014
Autor: Marcel

Hallo Sissi,

> Hallo Marcel,
>  
> Vilen Dank für deine Hilfe, die Idee mit den
> Zwischenwerten ist gut!
>  
> [mm]\forall x \in \IR_{+}:|f(x)|\le|f(x)-f(1)|+|f(1)|[/mm]
>  
> Ang x>1, füge zwischen x und 1 Zwischenschritte [mm]x_0=1,.., x_N=x[/mm]
> ein sodass die Zwischenschritte [mm]\delta/2[/mm] entfernt sind:
> [mm]|x_i[/mm] - [mm]x_{i+1}|[/mm] = [mm]\delta/2[/mm]  für [mm]0\le[/mm] i [mm]\le[/mm] N+1

da meinst Du $0 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] N-1$ (mit $i [mm] \in \IN_0$). [/mm]

>  (*) Ich hab gedacht ich wähle [mm]\delta/2[/mm] so dass ich die
> gleichmäßige Stetigkeit anwenden kann, was ich ja wenn
> ich die Abstände [mm]\delta[/mm] nicht kann, denn dann passt [mm]|x_i[/mm] -
> [mm]x_{i+1}|[/mm] = [mm]\delta[/mm] < [mm]\delta[/mm] nicht)
>  
> [mm]|f(x)-f(1)|+|f(1)|\le|f(x_0)-[f(x_0)-f(x_1) + f(x_1)- ...+f(x_{N-1})-f(x_N)]-f(1)|+ |f(1)|[/mm]
>  
> [mm]\le|f(x_0)-f(1)|+|f(x_0)-f(x_1)|+|f(x_1)-f(x_2)|+...+|f(x_{N-1}) - f(x_N)|<|f(1)-f(1)|+N*1+|f(1)|=N+ |f(1)|[/mm]
>  
>
> Es gilt: [mm]\frac{x-1}{\delta/2}-1=N[/mm]
>  Die [mm]-1[/mm] da N bei Index 0 zu zählen beginnt.

Naja, [mm] $x-1\,$ [/mm] muss ja nicht durch [mm] $\delta$ [/mm] teilbar sein - wir schreiben aber auch
nirgends, dass wir die Stellen äquidistant legen (was wir aber auch machen
könnten). Ich würde da auf jeden Fall irgendwie noch die Gaußklammer
verwenden.

Also Beispiel: Sei [mm] $x=2\,,$ $\delta=3/10\,.$ [/mm] Dann würdest Du sicher

    [mm] $x_0=1\,,$ $x_1=1+3/20\,,$ $x_2=x_1+3/20=1+6/20=...$ [/mm]

    [mm] $x_k=1+k*3/20$ [/mm] für $k=0,1,2,3,4,5,6$

wählen und [mm] $x_7=2\,.$ [/mm]

Nun ist aber

    $(2-1)/(3/20)=20/3 [mm] \notin \IN\,,$ [/mm]

insbesondere auch

    $(2-1)/(3/20) [mm] \not=7$. [/mm]

Das ist halt so eine *Frickelstelle*, wenn man sie genau hinschreiben will.
Du siehst aber alleine schon an der Formel, wie ich die [mm] $7\,$ [/mm] bestimmt habe:
Es ist [mm] $7\,$ [/mm] die kleinste natürliche Zahl [mm] $k\,$ [/mm] mit $1+k*(3/10)/2 [mm] \ge x=2\,.$ [/mm]

> [mm]N=\frac{x-1}{\delta/2}-1<\frac{x-1}{\delta/2}=\frac{2(x-1)}{\delta} <\frac{2x}{\delta}[/mm]
>  
> Also[mm]|f(x)|< N+|f(1)|< \frac{2x}{\delta}+|f(1)|[/mm]
>  
> [mm]M:=\max\{2/\delta,|f(1)|\},[/mm]  so folgt
>  
> [mm]|f(x)| < M\cdot{}x+M=M\cdot{}(1+x)\,.[/mm]
>  
> Wenn [mm]0\le[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

x < 1 ist kann man analog argumentieren.

Ja. Und wenn $f \colon \IR \to \IR$ glm. stetig ist, dachte ich, dass man
einfach die 0 (anstatt der 1) hernimmt und dann ersetzt man das $(1+x)\,$ durch
$(1+\red{|}x\red{|})$, also die ursprüngliche Variante. Siehst Du oder sonst
jemand einen Grund, warum das nicht gehen sollte? (Zumal man sicher
auch anders argumentieren könnte: Für ein auf $\IR$ definiertes $f\,$ ist dann, wenn $f\,$
dies ist, auch $\left.f\right|_{(0,\infty)}$ glm. stetig, auf letztstehende eingeschränkte
Funktion können wir die oben bewiesene Aussage anwenden.
Dann betrachtet man $g\,$ definiert durch $g(x):=f(-x)\,$ für $x > 0\,,$ und es folgt...
Hier muss man aber ein wenig aufpassen, dass man auch den "x=0"-Wert im
Auge behält. Aber ich denke, da kann man einfach mit einem Kompaktum
arbeiten, dass die 0 im Inneren enthält...)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
gleichmäßig stetig,Abschätzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:51 Di 16.12.2014
Autor: sissile

Danke für deine Antwort,

> > Es gilt: [mm]\frac{x-1}{\delta/2}-1=N[/mm]
>  >  Die [mm]-1[/mm] da N bei Index 0 zu zählen beginnt.
>  
> Naja, [mm]x-1\,[/mm] muss ja nicht durch [mm]\delta[/mm] teilbar sein - wir
> schreiben aber auch
>  nirgends, dass wir die Stellen äquidistant legen (was wir
> aber auch machen
>  könnten).

Braucht man hier nicht eher die Aufrundungsfunktion:

[mm] \lceil [/mm] x [mm] \rceil:=\min \{k\in\Z \mid k\ge x\} [/mm]
N= [mm] \lceil \frac{x-1}{\delta/2} \rceil [/mm] -1 < [mm] \lceil \frac{x-1}{\delta/2} \rceil =\lceil \frac{2x}{\delta} [/mm] - [mm] \frac{2}{\delta} \rceil <\frac{2x}{\delta} [/mm]

LG,
sissi

Bezug
                                        
Bezug
gleichmäßig stetig,Abschätzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:22 Mi 17.12.2014
Autor: Marcel

Hallo Sissi,

> Danke für deine Antwort,
>  
> > > Es gilt: [mm]\frac{x-1}{\delta/2}-1=N[/mm]
>  >  >  Die [mm]-1[/mm] da N bei Index 0 zu zählen beginnt.
>  >  
> > Naja, [mm]x-1\,[/mm] muss ja nicht durch [mm]\delta[/mm] teilbar sein - wir
> > schreiben aber auch
>  >  nirgends, dass wir die Stellen äquidistant legen (was
> wir
> > aber auch machen
>  >  könnten).
>  
> Braucht man hier nicht eher die Aufrundungsfunktion:
>  
> [mm]\lceil[/mm] x [mm]\rceil:=\min \{k\in\Z \mid k\ge x\}[/mm]
> N= [mm]\lceil \frac{x-1}{\delta/2} \rceil[/mm] -1 < [mm]\lceil \frac{x-1}{\delta/2} \rceil =\lceil \frac{2x}{\delta}[/mm]
> - [mm]\frac{2}{\delta} \rceil <\frac{2x}{\delta}[/mm]

das ist doch ziemlich egal, es gilt doch meistens irgendwie sowas (das
habe ich jetzt nicht detailliert überlegt - aber für $x [mm] \in [0,\infty) \setminus \IZ$ [/mm] wird das
wohl passen):

    [mm] $\lceil [/mm] x [mm] \rceil [/mm] = [mm] \lfloor x\rfloor [/mm] +1$

Wie gesagt: Das sind ja auch nur *minimale Details*, die nicht wirklich eine
besonders große Rolle im Beweis spielen. Sie sollten aber korrekt sein, so
dass, wenn jemand sich den Beweis *an einem Beispiel veranschaulichen*
will, man da nicht an solchen Kleinigkeiten hängenbleibt. (Jemand, der das
alles nachvollziehen kann, wird solche Fehler auch selbst korrigieren
können.)

Schreib's halt auf, und teste an einfachen Beispielen, ob das nun passt: Wir
hatten ja schon "den Fall [mm] $(2-1)/(0,3/2)\,$" [/mm] betrachtet, guck', ob Dein Aufschrieb
dann auch passt, wenn [mm] $(x-1)\,$ [/mm] durch [mm] $\delta$ [/mm] teilbar ist (bspw. wäre da
"der Fall [mm] $(2-1)/(0,2/2)\,$" [/mm] geeignet).

Gruß,
  Marcel

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