gleichmäßig stetige Funktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 13:18 Di 21.12.2004 | | Autor: | Sandra21 |
Halloo
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe ein Ansatz geben oder Hinweis wie ich das lösen kann.
Eine Funktion f:[a,b] --> [mm] \IR [/mm] heißt gleichmäßig stetig,falls gilt:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0: |x-y |< [mm] \delta \Rightarrow [/mm] | f(x)-f(y) |< [mm] \varepsilon
[/mm]
(a) Zeigen Sie: Jede stetige Funktion f: [a,b] ---> [mm] \IR [/mm] ist auch gleichmäßig stetig.
(b)Gilt diese Aussage auch für Funktionen f: [mm] \IR--> \IR?
[/mm]
Danke
Sandra
Ich habe diese Aufgabe in keinen anderem Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Di 21.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Sandra,
dies ist jetzt deine 38. Frage ohne eigenen Ansatz (die Fragen, die du über verschiedene Benutzerkonten stellst zusammengezählt).
Bitte liefere gemäß unseren Forenregeln Ansätze zu dieser Frage nach und entscheide dich bitte bis Ende des Tages für ein Benutzerkonto.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:55 Di 21.12.2004 | | Autor: | Chlors |
Hi,
ich habe dasselbe Problem. und zwar hab ich mir zu a) überlegt, dass durch die stetigkeit von f, f ja bei jedem [mm] x_{0} [/mm] stetig ist ... da [mm] x_{0} [/mm] beliebig.. kann es als y gesehen werden und man hätte quasi die geforderte Gleichung. kann das richtig sein?? irgenwie erscheint es mir zu simple.
bei b) könnte man [mm] \IR [/mm] als Intervall darstellen, dann würde es auch dafür gelten.. allerdings habe ich in einem Buch ein Beispiel gesehen, wo die gleichmäßige stetigkeit nicht eintritt. Kann mir jemand einen Ansatz geben?
Liebe Grüße, Conny.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Mi 22.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Conny!
> Hi,
> ich habe dasselbe Problem. und zwar hab ich mir zu a)
> überlegt, dass durch die stetigkeit von f, f ja bei jedem
> [mm]x_{0}[/mm] stetig ist ... da [mm]x_{0}[/mm] beliebig.. kann es als y
> gesehen werden und man hätte quasi die geforderte
> Gleichung. kann das richtig sein?? irgenwie erscheint es
> mir zu simple.
Ja, das ist auch zu simpel. Zunächst aber geben wir mal die Definition der glm. Stetigkeit für reellwertige Funktionen einer reeller Variablen richtig an:
$f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] heißt glm. stetig, falls:
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0$: [mm] $\exists \delta=\delta_{\varepsilon}>0$:[/mm] [m]\forall x,y \in \IR[/m] mit [mm] $|x-y|<\delta$ [/mm] gilt $|f(x)-f(y)|< [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Ist nun $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] stetig, so ist $g:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] ([m]-\infty < a \le b < \infty[/m]) mit $g(x)=f(x)$ ([m]\froall x \in [a,b][/m]) glm. stetig.
Beweis dazu:
Angenommen, das wäre nicht der Fall. Dann gibt es ein [m]\varepsilon_0 > 0[/m], so dass für alle [mm] $\delta [/mm] > 0$ zwei Punkte [m]x_{\delta},y_{\delta}\in [a,b][/m] existieren mit [mm] $|x_{\delta}-y_{\delta}|<\delta$ [/mm] und [m]|g(x_{\delta})-g(y_{\delta})|\ge\varepsilon_0[/m].
Insbesondere können wir also [m]\delta_n=\frac{1}{n}$ für $n \in \IN=\{1,\,2,\,3,...\}[/m] betrachten.
Demnach existieren dann für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] zwei Punkte [m]x_n,y_n \in [a,b][/m], so dass [mm] $|x_n-y_n|<\frac{1}{n}$, [/mm] aber [mm] $|g(x_n)-g(y_n)|\ge\varepsilon_0$.
[/mm]
Da $[a,b]_$ kompakt ist hat die Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Teilfolge [m](x_{n_j})_{j \in \IN}[/m] mit [mm] $x_{n_j} \to [/mm] x$ ($j [mm] \to \infty$) [/mm] für ein gewisses $x [mm] \in [/mm] [a,b]$.
Daraus folgt für die Teilfolge [mm] $(y_{n_j})_{j \in \IN}$ [/mm] von [m](y_n)_{n \in \IN}[/m]:
[m]|x-y_{n_j}|=|x-x_{n_j}+x_{n_j}-y_{n_j}|\le \underbrace{|x-x_{n_j}|}_{\to\;0\,bei\;j \to \infty}+\underbrace{\underbrace{|x_{n_j}-y_{n_j}|}_{\le \frac{1}{n_j}}}_{\to\;0\,bei\;j \to \infty} \stackrel{j \to \infty}{\longrightarrow} 0 [/m]
und daher gilt auch [mm] $y_{n_j}\to [/mm] x$ ($j [mm] \to \infty$).
[/mm]
Da $g$ auf $[a,b]_$ stetig ist (und damit insbesondere stetig in [m]x \in [a,b][/m]), folgt weiter:
[m]\varepsilon_0\le|g(x_{n_j})-g(y_{n_j})|\le \underbrace{|g(x_{n_j})-g(x)|}_{\to 0;\;bei\;j \to \infty}+\underbrace{|g(x)-g(y_{n_j})|}_{\to 0;\;bei\;j \to \infty} \stackrel{j \to \infty}{\longrightarrow} 0[/m] und damit
[mm] $\varepsilon_0 \le [/mm] 0$.
Widerspruch! [mm] $\Box$
[/mm]
> bei b) könnte man [mm]\IR[/mm] als Intervall darstellen, dann würde
> es auch dafür gelten..
Das verstehe ich nicht. Wie wolltest du da vorgehen?
Aber b) gilt nicht:
Betrachte [mm] $f:\IR \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$). [/mm] Dann ist $f$ stetig auf [mm] $\IR$, [/mm] aber nicht glm. stetig.
Der Beweis der Stetigkeit ist schnell abgetan, wenn man $f(x)=h(x)*h(x)_$ schreibt, wobei [m]h:\IR \to \IR[/m] mit $h(x)=x$ ($x [mm] \in \IR$) [/mm] definiert ist und man weiß (oder schnell beweist), dass $h$ stetig ist und wenn man weiß, dass das Produkt reellwertiger auf [mm] $\IR$ [/mm] stetiger Funktionen wieder eine reellwertige auf [m]\IR[/m] stetige Funktion ist.
Um zu beweisen, dass [mm] $f:\IR \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] ([m]x \in \IR[/m]) nicht gleichmäßig stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] sein kann, nimmst du an, sie wäre es und führst das zum Widerspruch. Solltest du es nicht hinbekommen, so meldest du dich bitte noch mal!
Viele Grüße,
Marcel
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