gleichmäßige Funktionenfolge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei K = R oder C und sei [mm] (f_{n}) \in [/mm] A(D,K)(Vektorraum) eine Funktionenfolge (n [mm] \in (N_{O}), [/mm] für die [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (f_{n}) [/mm] auf D gleichmäßig konvergiert. Beweisen Sie, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \parallel (f_{n}) \parallel_{D} [/mm] =0. |
Hallo!
Ich hänge grade bei dieser Aufgabe und komme nicht wirklich weiter.
Ich bin bisher soweit gekommen, dass man zeigen muss, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (f_{n}) [/mm] = f(x), wobei f(x)=0 ist, da dann lt eines Satzes unserer Vorlesung [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \parallel (f_{n}) \parallel_{D} [/mm] =0 ist.
Jedoch weiß ich nicht genau, wie ich das beweisen soll.
[mm] (\parallel (f_{n}) \parallel_{D}) [/mm] bezeichnet die Supremumsnorm auf D.)
Ich wäre um einen kleinen Tipp froh, wie ich da rangehen soll.
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Sa 27.10.2012 | | Autor: | pits |
> Sei K = R oder C und sei [mm](f_{n}) \in[/mm] A(D,K)(Vektorraum)
> eine Funktionenfolge (n [mm]\in (N_{O}),[/mm] für die
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (f_{n})[/mm] auf D gleichmäßig
> konvergiert. Beweisen Sie, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \parallel (f_{n}) \parallel_{D}[/mm]
> =0.
Klingt nicht nach einem Problem aus der Schulmathematik - Vielleicht das falsche Forum
> Ich wäre um einen kleinen Tipp froh, wie ich da rangehen
> soll.
Ich will es mal mit einer Idee versuchen. Also ich würde über die Definition der gleichmäßigen Konvergenz gehen, denn wenn, die Folge [mm] $\sum_{i=0}^{\infty}{f_n(x)}$ [/mm] gleichmäßig konvergiert gibt es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N\in \IN$ [/mm] mit [mm] $\sum_{i=N}^{\infty}{f_n(x)}<\varepsilon$. [/mm] Und daraus sollte man doch irgendwie folgern können, dass jeder einzelne Summand [mm] $f_i [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] ist. Ist jetzt nur eine Skizze, aber vielleicht hilfts.
Gruß
pits
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