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gleichmäßige Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:31 Mo 08.01.2007
Autor: bobby

Hallo!

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen:

Gegeben sei die Funktionenfolge [mm] f_{n}(x)=nx(1-x)^{n}, f_{n}:[0,1]\to\IR, n\in\IN. [/mm] Zeigen, dass [mm] f_{n} [/mm] punktweise, aber nicht gleichmäßig konvergiert.

Hab erstmal mit punktweise angefangen:
Sei also x fest, [mm] n\to\infty: [/mm]
das gibt die Grenzfunktion f(x)=0.

Für die gleichmäßige Konvergenz hab ich die Ableitung von [mm] f_{n} [/mm] bestimmt:
[mm] f'_{n}=n(1-x)^{n}+n^{2}x(1-x)^{n-1} [/mm]
Diese muss null gesetzt werden, um diejenigen x zu ermitteln, für die [mm] f_{n} [/mm] maximal wird...
Ab dem Punkt komme ich absolut nicht weiter...

        
Bezug
gleichmäßige Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:52 Mo 08.01.2007
Autor: statler

Guten Morgen Bobby!

> Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen:
>  
> Gegeben sei die Funktionenfolge [mm]f_{n}(x)=nx(1-x)^{n}, f_{n}:[0,1]\to\IR, n\in\IN.[/mm]
> Zeigen, dass [mm]f_{n}[/mm] punktweise, aber nicht gleichmäßig
> konvergiert.
>  
> Hab erstmal mit punktweise angefangen:
>  Sei also x fest, [mm]n\to\infty:[/mm]
>  das gibt die Grenzfunktion f(x)=0.
>  
> Für die gleichmäßige Konvergenz hab ich die Ableitung von
> [mm]f_{n}[/mm] bestimmt:
>  [mm]f'_{n}=n(1-x)^{n}+n^{2}x(1-x)^{n-1}[/mm]

Hier fehlt beim 2. Summanden die innere Ableitung.

>  Diese muss null gesetzt werden, um diejenigen x zu
> ermitteln, für die [mm]f_{n}[/mm] maximal wird...
>  Ab dem Punkt komme ich absolut nicht weiter...

Die Ableitung kannst du durch Ausklammern in ein Produkt verwandeln und dann die beiden Faktoren untersuchen ...

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


Bezug
                
Bezug
gleichmäßige Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:37 Mo 08.01.2007
Autor: bobby

stimmt, dann ist die Ableitung:
[mm] f'_{n}=n(1-x)^{n}-n^{2}x(1-x)^{n-1} [/mm]
          [mm] =n(1-x)^{n-1}(1-x-nx) [/mm]

Setze ich das gleich null folgt aus dem zweiten Faktor:
0=1-x(1+n)
x(1+n)=1
also ist x=1/(1+n)

Der erste Faktor:
[mm] 0=n(1-x)^{n-1} [/mm]
[mm] 0=(1-x)^{n-1} [/mm]
das gilt doch nur für x=1.

Aber wieso kann ich daraus dann folgern, dass [mm] f_{n} [/mm] nicht gleichmäßig konvergent ist??
In diesem Fall wäre es das doch nicht, da ich ein x gefunden habe, dass von n abhängt und das bei der glm Konvergenz nicht abhängig von n sein soll, oder???

Bezug
                        
Bezug
gleichmäßige Konvergenz: weiterer Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:09 Mo 08.01.2007
Autor: statler

Mahlzeit Bobby!

> stimmt, dann ist die Ableitung:
> [mm]f'_{n}=n(1-x)^{n}-n^{2}x(1-x)^{n-1}[/mm]
>            [mm]=n(1-x)^{n-1}(1-x-nx)[/mm]
>  
> Setze ich das gleich null folgt aus dem zweiten Faktor:
>  0=1-x(1+n)
>  x(1+n)=1
>  also ist x=1/(1+n)

Jetzt rechne mal an dieser Stelle den Funktionswert aus und prüf, wie der sich bei wachsendem n verhält. Die Frage ist doch, ob ich den für fast alle n gleichzeitig beliebig nahe an 0 kriege. Und?

> Der erste Faktor:
>  [mm]0=n(1-x)^{n-1}[/mm]
>  [mm]0=(1-x)^{n-1}[/mm]
>  das gilt doch nur für x=1.
>  
> Aber wieso kann ich daraus dann folgern, dass [mm]f_{n}[/mm] nicht
> gleichmäßig konvergent ist??
>  In diesem Fall wäre es das doch nicht, da ich ein x
> gefunden habe, dass von n abhängt und das bei der glm
> Konvergenz nicht abhängig von n sein soll, oder???

s. o.

Gruß
Dieter


Bezug
                                
Bezug
gleichmäßige Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:20 Mo 08.01.2007
Autor: bobby

Also, dann bekomm ich das hier:

[mm] f_{n}(1)=0 [/mm] für alle n
[mm] f_{n}(1/(1+n))=(n/(1+n))^{n+1} [/mm] und das konvergiert auch für alle n gegen 0

Aber dann folgt doch daraus jetzt, dass [mm] f_{n} [/mm] gleichmäßig konvergent ist, was es ja nicht sein soll, wo steckt denn da jetzt ein Widerspruch???


Bezug
                                        
Bezug
gleichmäßige Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:26 Di 09.01.2007
Autor: statler

Guten Morgen Bobby!
(Fröhlich wollen wir den Tag beginnen!)

> Also, dann bekomm ich das hier:
>  
> [mm]f_{n}(1)=0[/mm] für alle n
>  [mm]f_{n}(1/(1+n))=(n/(1+n))^{n+1}[/mm] und das konvergiert auch
> für alle n gegen 0

Eben nich! Warum sollte es auch? Es ist doch
[mm] (n/(1+n))^{n+1} [/mm] = (1 - [mm] 1/(1+n))^{n+1} [/mm]
und jetzt denk mal ganz intensiv daran, wie die Eulersche Zahl entsteht:
e = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1 + [mm] 1/n)^{n} [/mm]
Das isses noch nich ganz, aber den Rest trau ich dir jetzt zu.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


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