gleichmäßige Konvergenz < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Fr 11.04.2008 | | Autor: | algieba |
| Aufgabe | Sei [mm] f_n(x) = \begin{cases} n & \mbox{für }0
[mm](f_n)n\in \IN[/mm] konvergiert punktweise gegen die konstante Nullfunktion.
Konvergiert [mm](f_n)n\in \IN[/mm] gleichmäßig gegen f? |
Hi
Wie gehe ich denn an diese Frage heran? Was bedeutet gleichmäßige Konvergenz denn genau?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]f_n(x) = \begin{cases} n & \mbox{für }0
>
> [mm](f_n)n\in \IN[/mm] konvergiert punktweise gegen die konstante
> Nullfunktion.
>
> Konvergiert [mm](f_n)_{\blue{n\in \IN}}[/mm] gleichmäßig gegen f?
> Hi
>
> Wie gehe ich denn an diese Frage heran? Was bedeutet
> gleichmäßige Konvergenz denn genau?
die Aufgabe ist eigentlich sehr einfach.
(Hast Du Dir mal die Graphen der [mm] $f_n$ [/mm] skizziert für z.B. $n=1,2,3,4,5,...$? Wenn man gar keine Idee hat, wie man an eine Aufgabe rangehen soll, kann das manchmal helfen...)
Zur punktweisen Konvergenz:
Für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt ja:
Für alle $x [mm] \le [/mm] 0$ ist [mm] $f_n(x)=0$ [/mm] .
Außerdem:
Ist [mm] $x_0 [/mm] > 0$, so wähle $N [mm] \in \IN$ [/mm] mit $N > [mm] \frac{1}{x_0}$. [/mm] Was folgt dann für [mm] $f_n(x_0)$, [/mm] wenn $n [mm] \ge [/mm] N$?
Zur glm. Konvergenz:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_Konvergenz
Du solltest oben gesehen haben, dass [mm] $f_n(x_0) \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] für jedes [mm] $x_0 \in \IR$.
[/mm]
Wenn [mm] $(f_n)_n$ [/mm] also auch glm. konvergiert, so kommt nur $f=0$ (d.h. $f(x)=0$ für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] bzw. $f(x) [mm] \equiv [/mm] 0$) als Grenzfunktion in Frage, für die wir prüfen müssen, ob [mm] $(f_n)_n$ [/mm] glm. gegen $f$ konvergiert.
(Grund: Wenn [mm] $(f_n)_n$ [/mm] glm. gegen $g$ konvergiert, so konvergiert [mm] $(f_n)$ [/mm] insbesondere auch punktw. gegen $g$. Würe [mm] $(f_n)_n$ [/mm] nun glm. gegen $g$ und punktweise gegen eine Funktion $f$ konvergieren mit $f [mm] \not=g$, [/mm] so gäbe es insbesondere eine Stelle [mm] $x_0$ [/mm] mit [mm] $f(x_0) \not= g(x_0)$. [/mm] Andererseits gilt dann aber sowohl [mm] $f_n(x_0) \to f(x_0)$ [/mm] also auch [mm] $f_n(x_0) \to g(x_0)$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$, [/mm] woraus wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes (in einem metrischen Raum) dann doch [mm] $f(x_0)=g(x_0)$ [/mm] folgen müsste. Widerspruch.)
Damit ist [mm] $|f_n(x)-f(x)|=|f_n(x)|$ [/mm] für jedes $x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Was ist dann [mm] $S_n:=\sup \{|f_n(x)-f(x)|: x \in \IR\}$?
[/mm]
(Du bräuchtest bei Deiner Aufgabe hier [mm] $\sup \{|f_n(x)-f(x)|: x \in \IR\}$ [/mm] noch nicht einmal genau anzugeben, es würde reichen, wenn Du z.B. sagst:
[mm] $\sup\{|f_n(x)-f(x)|: x \in \IR\} \ge \left|f\left(\frac{1}{2n}\right)\right|$.)
[/mm]
Was folgt dann für [mm] $\lim_{n \to \infty} S_n$? [/mm] Ist dieser $=0$?
P.S.:
Wenn Dir der Zusammenhang mit [mm] $\sup \{|f_n(x)-f(x)|: x \in \IR\}$ [/mm] und der glm. Konvergenz Deiner Funktionenfolge nicht klar ist:
http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
Der (sehr kurze) Beweis dazu steht in Bemerkung 15.4 2.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 So 13.04.2008 | | Autor: | algieba |
Hi
Danke für die ausführliche Antwort. Wir haben jetzt eine Funktionenfolge erstellt, und wir haben rausbekommen, dass diese Funktionenfolge gleichmäßig auf [mm] [0,1] [/mm] konvergiert. Die Funktion ist:
[mm]f_n(x) = \wurzel[n]{x}[/mm]
Wir haben es zeichnerisch verstanden, wie kann man das jetzt rechnerisch zeigen? Und konvergiert diese Funktionenfolge überhaupt gleichmäßig? (oder haben wir was falsch gemacht?)
Vielen Dank
algieba
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 So 13.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi
>
> Danke für die ausführliche Antwort. Wir haben jetzt eine
> Funktionenfolge erstellt, und wir haben rausbekommen, dass
> diese Funktionenfolge gleichmäßig auf [mm][0,1][/mm] konvergiert.
> Die Funktion ist:
>
> [mm]f_n(x) = \wurzel[n]{x}[/mm]
>
> Wir haben es zeichnerisch verstanden, wie kann man das
> jetzt rechnerisch zeigen? Und konvergiert diese
> Funktionenfolge überhaupt gleichmäßig? (oder haben wir was
> falsch gemacht?)
ihr werdet etwas falsch gemacht haben. Selbst, wenn ihr die Funktionenfolge nur auf $(0,1]$ betrachtet:
Dann konvergiert sie punktweise gegen $f:(0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit $f(x)=1$. Allerdings ist [mm] $\sup\{|f_n(x)-1|: x \in (0,1]\}=1$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
(Das erkennt man z.B. daran, dass man für jedes $n$ eine Folge [mm] $(x_k)_{k \in \IN}=\left(x_k^{(n)}\right)_{k \in \IN}$ [/mm] angeben kann mit [mm] $f_n(x_k) \to [/mm] 0$ bei $k [mm] \to \infty$. [/mm] Man wähle einfach irgendeine Nullfolge in $(0,1]$, d.h. [mm] $x_k \in [/mm] (0,1]$ und [mm] $x_k \to [/mm] 0$ bei $k [mm] \to \infty$.
[/mm]
Daher ist dann [mm] $\sup\{|f_n(x)-1|: x \in (0,1]\} \ge [/mm] 1$. Frage an Dich:
Warum gilt [mm] $\sup\{|f_n(x)-1|: x \in (0,1]\} \le [/mm] 1$?
Tipp: Beachte eine Abschätzung für [mm] $\sqrt[n]{x}$, [/mm] wenn $x [mm] \in [/mm] (0,1]$.)
Damit konvergiert [mm] $f_n$ [/mm] schon auf $(0,1]$ nicht gleichmäßig, da
[mm] $\lim_{n \to \infty} \sup\{|f_n(x)-1|: x \in (0,1]\}=\lim_{n \to \infty}1=1 \not=0$.
[/mm]
(Du kannst hier übrigens das ganze auch mit [mm] $f_n:[0,1] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f_n(x)=\sqrt[n]{x}$ [/mm] machen und dem entsprechenden [mm] $\sup \{|f_n(x)-f(x)|: x \in [0,1]\}$, [/mm] wobei dann $f$ mit $f(0)=0$ und $f(x)=1$ für $x [mm] \in [/mm] (0,1]$ ist.)
Ein anderes Argument wäre:
Wenn [mm] $f_n$ [/mm] glm. konvergent auf $[0,1]$ wäre, so kommt als Grenzfunktion nur $f:[0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit
[mm] $f(x)=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x}$ [/mm] ($0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$)
in Frage. Alle [mm] $f_n$ [/mm] sind stetig auf $[0,1]$, dann müßte (nach einem Satz, denn Du z.B. auch in obigem Skriptum findest) dann auch $f$ stetig auf $[0,1]$ sein.
Aber:
[mm] $f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=0 \\ 1, & \mbox{für } x \in (0,1] \end{cases}$
[/mm]
hat offensichtlich an [mm] $x_0=0$ [/mm] eine Sprungstelle.
Also:
Eure [mm] $f_n$ [/mm] sind punktweise, aber nicht glm. konvergent auf $[0,1]$. Ist allerdings $0 < r < 1$ fest, so sind Eure [mm] $f_n$, [/mm] wenn man sie auf $[r,1]$ einschränkt, glm. konvergent gegen [mm] $f_r$ [/mm] mit [mm] $f_r(x)=1$ [/mm] ($x [mm] \in [/mm] [r,1]$).
Analoges gilt auch, wenn ihr die [mm] $f_n$ [/mm] auf $(r,1]$ einschränken würdet.
Gruß,
Marcel
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