gleichmäßige Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 So 07.03.2010 | | Autor: | Roli772 |
| Aufgabe | | Seien [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_{i}, \summe_{i=1}^{\infty} b_{i}, [/mm] abs. konvergent [mm] \Rightarrow \summe_{i=1}^{\infty} (a_{i} [/mm] cos i*x + [mm] b_{i} [/mm] sin i*x) glm. konvergent auf [mm] \IR. [/mm] |
Hi an alle!
Habe leider überhaupt keinen rechten Ansatz für dieses Bsp.
muss halt zeigen, dass die oben gegebene trigonometrische Reihe glm. konvergiert. Dies wäre der Fall, wenn [mm] ||S_{i}-S'||_{\infty} [/mm] --> 0. (wobei [mm] S_{i}.. [/mm] die Folge der ite Partialsumme)
Wie ich hier aber genau vorgehe weiß ich nicht :(
Würde mich also freuen, wenn mir hier jemand helfen könnte!
Danke für eure Zeit!!
Mfg Sr.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 So 07.03.2010 | | Autor: | pelzig |
Benutze das Weierstraßsche Majorantenkriterium (Google ist dein Freund).
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 So 07.03.2010 | | Autor: | Roli772 |
Ah sehr gut!
definiere mir also [mm] fi:=a_{i}*cos i*x+b_{i}*sin*i*x, [/mm] falls es nun ein [mm] M_{i} [/mm] aus [mm] \IR [/mm] mit [mm] ||f_{i}||_{\infty} \le M_{i} [/mm] für alle i und [mm] \summe_{i=1}^{\infty}M_{i} [/mm] konv. dann folgt, dass meine trigon. Reihe glm konvergiert.
Jetzt müsste ich aber noch so ein [mm] M_{i} [/mm] finden. Hättest du da einen guten Tipp, wie ich [mm] f_{i} [/mm] abschätzen könnte?
Danke für deine schnelle Antwort!!
Mfg Sr.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 Mo 08.03.2010 | | Autor: | pelzig |
Es ist [mm] $|\sin(ix)|\le [/mm] 1$ für alle [mm] $i\in\IN$, [/mm] analog für den Kosinus. Also ist [mm] $\left|\sum_{i=1}^nf_i\right|\le\sum_{i=1}^n|f_i|\le\sum_{i=1}^\infty |a_i|+\sum_{i=1}^\infty |b_i|<\infty$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:51 Mo 08.03.2010 | | Autor: | Roli772 |
ah dankeschön!! =)
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