gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Di 13.01.2009 | | Autor: | Thomas87 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Die Funktion f: (0, [mm] \infty) [/mm] -> [mm] \IR, f(x):=x^{-1} [/mm] ist stetig, jedoch nicht gleichmäßg stetig. |
Ich denke, den Unterschied zwischen gleichmäßger Stetigkeit und allgemeiner Stetigkeit habe ich ganz gut verstanden, aber an dem Beweisen scheitere ich. Ich wüsste jetzt, dass sie stetig ist, weil die Null im Nenner vermieden wird dadurch, dass sich 0 nur angenähert wird und weil der Abstand zwischen zweier Punkte innerhalb der Funktion beliebig klein sein kann. Die Definition habe ich zwar auch, aber ich kann es damit leider nicht beweisen. Und die Funktion wäre auf keinen Fall gleichmäßig stetig, da sich der X Wert beliebig an die 0 annähern kann, aber der y Wert dadurch unendlich wird im Grenzfall und damit übersteigt er alle vorgegebenen Grenzen. Ich wäre sehr dankbar, wenn ihr mir beim Beweis auf die Sprünge helfen könntet.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:21 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Wäre es vielleicht sinnvoll, wenn ich in die Bedingung [mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} [/mm] f(x) einsetze?
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> Wäre es vielleicht sinnvoll, wenn ich in die Bedingung
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ 0}[/mm] f(x) einsetze?
Hallo,
Du meinst wohl eher [mm] \limes_{\red{x}\rightarrow 0}f(x) [/mm] .
Welche Bedingung? Wo weshalb einsetzen? das müßtest Du genauer erklären.
Spontan würde ich sagen: nein.
Gruß v. Angela
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> Zeigen Sie: Die Funktion f: (0, [mm]\infty)[/mm] -> [mm]\IR, f(x):=x^{-1}[/mm]
> ist stetig, jedoch nicht gleichmäßg stetig.
> Ich denke, den Unterschied zwischen gleichmäßger
> Stetigkeit und allgemeiner Stetigkeit habe ich ganz gut
> verstanden, aber an dem Beweisen scheitere ich
Hallo,
wie lauten die Definitionen, wo liegt der Unterschied zwischen beiden?
Nur bei geneuer Kenntnis der Definitionen kannst Du die Beweise richtig führen, mit diffusem Geplauder kommt man hier nicht weiter.
> Ich wüsste
> jetzt, dass sie stetig ist, weil die Null im Nenner
> vermieden wird dadurch, dass sich 0 nur angenähert wird
Auf deutsch: die Funktion ist an der Stelle 0 nicht definiert - für die Stetigkeit ist das zunächst ohne Belang, es sei denn, Du willst einen ganz bestimmten Satz verwenden, nämlich den, aus dem man die Steigkeit von f aus der von g(x):=x erhält.
> und
> weil der Abstand zwischen zweier Punkte innerhalb der
> Funktion beliebig klein sein kann.
???
[mm] g(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in \IQ \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } x\in \IR \IQ \mbox{} \end{cases} [/mm] ist nicht stetig.
> Die Definition habe ich
> zwar auch, aber ich kann es damit leider nicht beweisen.
Wir brauchen die Definition um zu sehen, was man tun muß.
> Und die Funktion wäre auf keinen Fall gleichmäßig stetig,
> da sich der X Wert beliebig an die 0 annähern kann, aber
> der y Wert dadurch unendlich wird im Grenzfall und damit
> übersteigt er alle vorgegebenen Grenzen.
> Ich wäre sehr
> dankbar, wenn ihr mir beim Beweis auf die Sprünge helfen
> könntet.
Beginne mit dem Posten der Definition und der Erklärung des Unterschiedes zwischen stetig und glm stetig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Gut. Also die Definition der Stetigkeit ist ja nach dem [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Kriterium
f ist genau dann stetig in a [mm] \in [/mm] D , wenn zu jedem [mm] \varepsilon
[/mm]
> 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 existiert, sodass für alle x [mm] \in [/mm] D gilt: [x - a] < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x) - f(a)| < [mm] \varepsilon [/mm]
oder
[mm] \limes_{x\rightarrow\x_0} [/mm] f(x) = [mm] f(x_0)
[/mm]
Und die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit:
Für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein [mm] \delta [/mm] > 0, sodass für alle x,y [mm] \in [/mm] D gilt: [x - a] < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x) - f(a)| < [mm] \varepsilon [/mm]
Zum Unterschied:
Gleichmäßige Stetigkeit ist einschränkender als die normale Stetigkeit. Also jede gleichmäßig stetige Funktion ist stetig, aber nicht umgekehrt. Bei einer normalen stetigen Funktion findet man zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] eine [mm] \delta, [/mm] so dass sich die Funktionswerte um weniger [mm] \varepsilon [/mm] von [mm] f(x_0) [/mm] unterscheiden. Bei der gleichmäßgen Stetigkeit hängt [mm] \delta [/mm] nur von [mm] \varepsilon [/mm] ab. Wäre das etwas richtig? Und für was steht [mm] x_0 [/mm] eigentlich immer?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 Mi 14.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Gut. Also die Definition der Stetigkeit ist ja nach dem
> [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] Kriterium
> f ist genau dann stetig in a [mm]\in[/mm] D , wenn zu jedem
> [mm]\varepsilon[/mm]
> > 0 ein [mm]\delta[/mm] > 0 existiert, sodass für alle x [mm]\in[/mm] D
> gilt: [x - a] < [mm]\delta \Rightarrow[/mm] |f(x) - f(a)| <
> [mm]\varepsilon[/mm]
>
> oder
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\x_0}[/mm] f(x) = [mm]f(x_0)[/mm]
>
>
> Und die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit:
> Für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 existiert ein [mm]\delta[/mm] > 0, sodass
> für alle x,y [mm]\in[/mm] D gilt: [x - a] < [mm]\delta \Rightarrow[/mm] |f(x)
> - f(a)| < [mm]\varepsilon[/mm]
Das ist doch Unsinn. Mach dich nochmal schlau
FRED
>
> Zum Unterschied:
> Gleichmäßige Stetigkeit ist einschränkender als die
> normale Stetigkeit. Also jede gleichmäßig stetige Funktion
> ist stetig, aber nicht umgekehrt. Bei einer normalen
> stetigen Funktion findet man zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] eine
> [mm]\delta,[/mm] so dass sich die Funktionswerte um weniger
> [mm]\varepsilon[/mm] von [mm]f(x_0)[/mm] unterscheiden. Bei der gleichmäßgen
> Stetigkeit hängt [mm]\delta[/mm] nur von [mm]\varepsilon[/mm] ab. Wäre das
> etwas richtig? Und für was steht [mm]x_0[/mm] eigentlich immer?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Genauso steht es in meinem Hefter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:38 Do 15.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Genauso steht es in meinem Hefter.
Na und ? Dann steht halt Unsinn in Deinem Hefter. Schau mal nach, ob bei der glm. Stetigkeit statt a nicht y steht.
FRED
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> Gut. Also die Definition der Stetigkeit ist ja nach dem
> [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] Kriterium
> f ist genau dann stetig in a [mm]\in[/mm] D , wenn zu jedem
> [mm]\varepsilon[/mm]
> > 0 ein [mm]\delta[/mm] > 0 existiert, sodass für alle x [mm]\in[/mm] D
> gilt: [x - a] < [mm]\delta \Rightarrow[/mm] |f(x) - f(a)| <
> [mm]\varepsilon[/mm]
>
> oder
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\x_0}[/mm] f(x) = [mm]f(x_0)[/mm]
>
>
> Und die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit:
> Für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 existiert ein [mm]\delta[/mm] > 0, sodass
> für alle x,y [mm]\in[/mm] D gilt: |x - [mm] \red{y}| [/mm] < [mm]\delta \Rightarrow[/mm] |f(x)
> - [mm] f(\red{y})| [/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Zum Unterschied:
> Gleichmäßige Stetigkeit ist einschränkender als die
> normale Stetigkeit. Also jede gleichmäßig stetige Funktion
> ist stetig, aber nicht umgekehrt. Bei einer normalen
> stetigen Funktion findet man zu jedem [mm]\varepsilon[/mm]
an jeder Stelle [mm] x_0 [/mm] des Definitionsbereiches
> ein passendes [mm] \delta, [/mm]
welches von [mm] x_0 [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] abhängen kann,
>so dass sich die Funktionswerte
für solche x, deren Entfernung zu [mm] x_0 [/mm] kleiner als [mm] \delta [/mm] ist,
> um weniger als
> [mm]\varepsilon[/mm] von [mm]f(x_0)[/mm] unterscheiden.
> Bei der gleichmäßgen
> Stetigkeit hängt [mm]\delta[/mm] nur von [mm]\varepsilon[/mm] ab.
und nicht von der betrachteten Stelle [mm] x_0.
[/mm]
Man weiß hier, daß es zu vorgebenem [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] \delta [/mm] gibt, so daß die Funktionswerte nicht weiter als [mm] \varepsilon [/mm] auseinanderliegen, sofern die Argumente nicht weiter als [mm] \delta [/mm] voneinander entfernt sind.
Wäre das
> etwas richtig? Und für was steht [mm]x_0[/mm] eigentlich immer?
Für eine feste Stelle, die man gerade betrachtet.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Mi 14.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipps:
Nimm an, f: (0, $ [mm] \infty) [/mm] $ -> $ [mm] \IR, f(x):=x^{-1} [/mm] $ sei auf (0, [mm] \infty) [/mm] glm. sretig.
Zu [mm] \varepsilon [/mm] = 1/2 gibt es dann ein [mm] \delta [/mm] >0 mit
|f(x) - f(y)| < 1/2 für alle x,y >0 mit |x-y| < [mm] \delta
[/mm]
Wähle nun y = x+ [mm] \delta [/mm] /2 und betrachte damit |f(x) - f(y)| für x--> 0
FRED
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