matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenStetigkeitgleichmäßige Stetigkeit
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Stetigkeit" - gleichmäßige Stetigkeit
gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

gleichmäßige Stetigkeit: Verständnisproblem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:47 Di 08.02.2011
Autor: sqrt25

Aufgabe
[mm] f:\IR \setminus\left\{ 3 \right\}\rightarrow\IR [/mm]
x [mm] \rightarrow\bruch{1}{x-3} [/mm]
zz.: f ist nicht gleichmäßig stetig.

Die Lösung der Aufgabe liegt mir vor:
zz. [mm] \exist \epsilon [/mm] sodass [mm] \forall \delta \exist \x_\delta,y_\delta \in \IR\setminus\left\{ 3 \right\} [/mm] mit [mm] |x_\delta-y_\delta|<\delta [/mm] und [mm] |f(x_\delta)-f(y_\delta)|>\epsilon. \left( \* \right) [/mm]

Wähle: [mm] \epsilon=1/2, x=3-\delta/4,y=3+\delta/4 [/mm]

[mm] |f(x_\delta)-f(y_\delta)|=|\bruch{1}{3-\bruch{\delta}{4}-3}-\bruch{1}{3+\bruch{\delta}{4}-3}|=|-\bruch{4}{\delta}-\bruch{4}{\delta}|=|8/\delta| [/mm] und [mm] 8/\delta>1/2 [/mm] für alle [mm] 16>\delta. \left( 1 \right) [/mm]
Im Weiteren muss man dann noch testen, dass die Bedingung [mm] \left( \* \right) [/mm] auch für alle [mm] \delta>16 [/mm] erfüllt ist [mm] \left( 2 \right). [/mm]

Den Teil [mm] \left( 1 \right) [/mm] verstehe ich leider nicht ganz. Wenn ich mir die Rechnung anschaue, müsste doch aus [mm] \delta>16 [/mm] laut dieser Überlegung folgen, dass [mm] \left( \* \right) [/mm] nicht erfüllt ist und [mm] |f(x_\delta)-f(y_\delta)|<\epsilon [/mm] (wenn man Beweisteil [mm] \left( 2 \right) [/mm] noch nicht geführt hat). Wenn man sich den Graphen der Funktion anguckt, sieht man das aber nicht ein. Wählt man dann z.B. [mm] \delta=20, [/mm] folgt x=-2 und y=8. In diesem Intervall ist f aber noch nicht mal stetig. Darf ich meine [mm] x_\delta,y_\delta [/mm] denn eigentlich genau um die Unstetigkeitsstelle herum wählen?

Vielen Dank =)


        
Bezug
gleichmäßige Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:05 Di 08.02.2011
Autor: fred97


> [mm]f:\IR \setminus\left\{ 3 \right\}\rightarrow\IR[/mm]
> x [mm]\rightarrow\bruch{1}{x-3}[/mm]
>  zz.: f ist nicht gleichmäßig stetig.
>  Die Lösung der Aufgabe liegt mir vor:

Wer hat denn die fabriziert ?


>  zz. [mm]\exist \epsilon[/mm] sodass [mm]\forall \delta \exist \x_\delta,y_\delta \in \IR\setminus\left\{ 3 \right\}[/mm]

              

> mit [mm]|x_\delta-y_\delta|<\delta[/mm] und
> [mm]|f(x_\delta)-f(y_\delta)|>\epsilon. \left( \* \right)[/mm]


Das ist doch Quatsch !

Zu zeigen: es gibt ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 mit: zu jedem [mm] \delta> [/mm] 0 gibt es [mm] x_\delta [/mm] , [mm] y_\delta \in \IR\setminus\left\{ 3 \right\} [/mm] so, dass

          [mm] |x_\delta-y_\delta|<\delta, [/mm]  aber  [mm] |f(x_\delta)-f(y_\delta)|>\epsilon. [/mm]




> Wähle: [mm]\epsilon=1/2, x=3-\delta/4,y=3+\delta/4[/mm]
>  
> [mm]|f(x_\delta)-f(y_\delta)|=|\bruch{1}{3-\bruch{\delta}{4}-3}-\bruch{1}{3+\bruch{\delta}{4}-3}|=|-\bruch{4}{\delta}-\bruch{4}{\delta}|=|8/\delta|[/mm]
> und [mm]8/\delta>1/2[/mm] für alle [mm]16>\delta. \left( 1 \right)[/mm]




???????????????

>  Im
> Weiteren muss man dann noch testen, dass die Bedingung
> [mm]\left( \* \right)[/mm] auch für alle [mm]\delta>16[/mm] erfüllt ist
> [mm]\left( 2 \right).[/mm]


?????????????????


Von wem hast Du diesen Schwachsinn ???


FRED

>  
> Den Teil [mm]\left( 1 \right)[/mm] verstehe ich leider nicht ganz.
> Wenn ich mir die Rechnung anschaue, müsste doch aus
> [mm]\delta>16[/mm] laut dieser Überlegung folgen, dass [mm]\left( \* \right)[/mm]
> nicht erfüllt ist und [mm]|f(x_\delta)-f(y_\delta)|<\epsilon[/mm]
> (wenn man Beweisteil [mm]\left( 2 \right)[/mm] noch nicht geführt
> hat). Wenn man sich den Graphen der Funktion anguckt, sieht
> man das aber nicht ein. Wählt man dann z.B. [mm]\delta=20,[/mm]
> folgt x=-2 und y=8. In diesem Intervall ist f aber noch
> nicht mal stetig. Darf ich meine [mm]x_\delta,y_\delta[/mm] denn
> eigentlich genau um die Unstetigkeitsstelle herum wählen?
>  
> Vielen Dank =)
>  


Bezug
                
Bezug
gleichmäßige Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:19 Di 08.02.2011
Autor: sqrt25

UAAAA, da ist aber was schief gelaufen beim Verfassen, editieren kann ich ja jetzt nicht mehr, sorry, das hab ich da natürlich falsch aufgeschrieben, es muss heißen:

zz.: [mm] \exists \epsilon>0 [/mm] sodass [mm] \forall \delta>0 \exists x_\delta, y_\delta \in \IR\setminus \left\{ 3 \right\} [/mm] mit [mm] |x_\delta-y_\delta|<\delta [/mm] und [mm] |f(x_\delta)-f(y_\delta)|>\epsilon [/mm]

Der Rest (Teil [mm] \left( 1 \right). [/mm] Ist der falsch?) entstammt einer Musterlösung zu der Aufgabe....


Bezug
                        
Bezug
gleichmäßige Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:27 Di 08.02.2011
Autor: fred97

Wir haben: (so stehts oben)

Wähle: $ [mm] \epsilon=1/2, x=3-\delta/4,y=3+\delta/4 [/mm] $

$ [mm] |f(x_\delta)-f(y_\delta)|=|\bruch{1}{3-\bruch{\delta}{4}-3}-\bruch{1}{3+\bruch{\delta}{4}-3}|=|-\bruch{4}{\delta}-\bruch{4}{\delta}|=|8/\delta| [/mm] $ und $ [mm] 8/\delta>1/2 [/mm] $ für alle $ [mm] 16>\delta. \left( 1 \right) [/mm] $


ich würde es so aufschreiben:

Sei  [mm] \epsilon=1/2. [/mm] Sei [mm] \delta [/mm] <16. Wähle [mm] x-\delta=3-\delta/4,y_\delta=3+\delta/4 [/mm] $

Dann ist

$ [mm] |f(x_\delta)-f(y_\delta)|=.....= 8/\delta>1/2$ [/mm]

FRED



Bezug
                                
Bezug
gleichmäßige Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:40 Di 08.02.2011
Autor: sqrt25


> ich würde es so aufschreiben:
>  
> Sei  [mm]\epsilon=1/2.[/mm] Sei [mm]\delta[/mm] <16. Wähle
> [mm]x-\delta=3-\delta/4,y_\delta=3+\delta/4[/mm] $
>  
> Dann ist
>
> [mm]|f(x_\delta)-f(y_\delta)|=.....= 8/\delta>1/2[/mm]

Okay, das macht auch Sinn, aber für [mm] \delta>16 [/mm] müsste doch gerade der Ansatz  [mm] \left( 1 \right) [/mm] fehlschlagen. Wenn ich somit [mm] \epsilon=1/2, \delta=20, [/mm] x=-2, y=8 wähle, müsste in dieser Situation folgen [mm]|f(x_\delta)-f(y_\delta)|=.....= 8/\delta<1/2[/mm].
Ich hab mir den Graphen der Funktion zeichnen lassen und betrachte den [mm] \delta=20 [/mm] Streifen zwischen -2 und 8. Ein Epsilon-Schlauch der Breite 1/2 erfasst aber nicht alle Funktionswerte des delta-Streifens. Das müsste doch aber (laut Rechnung) der Fall sein...

Bezug
                                        
Bezug
gleichmäßige Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:09 Do 10.02.2011
Autor: rainerS

Hallo!

> > ich würde es so aufschreiben:
>  >  
> > Sei  [mm]\epsilon=1/2.[/mm] Sei [mm]\delta[/mm] <16. Wähle
> > [mm]x-\delta=3-\delta/4,y_\delta=3+\delta/4[/mm] $
>  >  
> > Dann ist
> >
> > [mm]|f(x_\delta)-f(y_\delta)|=.....= 8/\delta>1/2[/mm]
>  
> Okay, das macht auch Sinn, aber für [mm]\delta>16[/mm] müsste doch
> gerade der Ansatz  [mm]\left( 1 \right)[/mm] fehlschlagen.

Wieso denn? Dadurch wird die Aussage doch nicht falsch. Auch wenn du [mm] $\delta [/mm] > 16 $  wählst, bleibt immer noch die Aussage für diejenigen Werte von x und y, die in dem kleineren Bereich liegen. Du kannst z.B. [mm] $x_\delta=-1$ [/mm] und [mm] $y_\delta=7$ [/mm] wählen.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]